Considere em R^2 as bases beta1=(1,0),(0,1) e beta2=(1,1),(-1,1) e a matriz A=(ll2 & 0 0 & 1)
Calcule T(2,-3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve transformações lineares em 2 & 0 0 & 1. As bases são e , e a matriz . A tarefa é calcular . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a matriz da transformação linear às coordenadas do vetor dado, considerando as bases fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a base padrão de . Isso significa que as coordenadas do vetor na base são simplesmente . Não precisamos fazer nenhuma conversão aqui porque já estamos na base padrão.

Passo 3

Agora, a matriz A cdot 2 -3 = 2 & 0 0 & 1 cdot 2 -3 = 2 times 2 + 0 times (-3) 0 times 2 + 1 times (-3) = 4 -3 representa a transformação linear de para . Para aplicar ao vetor , vamos multiplicar a matriz pelo vetor de coordenadas :
Então, o resultado dessa multiplicação é .

Passo 4

O vetor T(2, -3) = 4 times (1,1) + (-3) times (-1,1) está nas coordenadas da base 4 times (1,1) = (4, 4) . Para encontrar as coordenadas no espaço padrão -3 times (-1,1) = (3, -3) , precisamos expressar esse vetor em termos dos vetores da base , que são e .
Isso significa que:
Vamos calcular cada parte:

Passo 5

Agora, somamos os resultados:
(4, 4) + (3, -3) = (4 + 3, 4 + (-3)) = (7, 1)

Resposta

Portanto, .

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