Considere em as bases e e a matriz
Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve transformações lineares em . As bases são e , e a matriz . A tarefa é calcular . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a matriz da transformação linear às coordenadas do vetor dado, considerando as bases fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a base padrão de . Isso significa que as coordenadas do vetor na base são simplesmente . Não precisamos fazer nenhuma conversão aqui porque já estamos na base padrão.

Passo 3

Agora, a matriz representa a transformação linear de para . Para aplicar ao vetor , vamos multiplicar a matriz pelo vetor de coordenadas :
Então, o resultado dessa multiplicação é .

Passo 4

O vetor está nas coordenadas da base . Para encontrar as coordenadas no espaço padrão , precisamos expressar esse vetor em termos dos vetores da base , que são e .
Isso significa que:
Vamos calcular cada parte:

Passo 5

Agora, somamos os resultados:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Considere as matrizes e .
(a) Escreva as colunas de como uma combinação da forma .
(b) Escreva as linhas de como uma combinação da forma .
Encontre linear tal que
é gerado por .
(a) Se é uma matriz retangular, tal que é invertível, verifique que a matriz é uma inversa à esquerda de .
Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e considere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em e por
c) Mostre que .