Considere as matrizes R=[ccc4 & (16)^y & -1 9^x & a & 0], S=[ccc1 & 4^2 y-1 & 2^-1 3^x & b & 1] e T=[ccrb & 2^2 y-1-10 & c 27 & 13 & -6].
Calcule a soma dos quadrados das constantes reais x, y, a, b, c que satisfazem a equação matricial R-6 S=T.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos dá três matrizes , e com alguns elementos desconhecidos: , , , e . A gente precisa resolver a equação matricial e, depois, calcular a soma dos quadrados dessas constantes. Para resolver isso, vamos usar conceitos de operações com matrizes, igualando os elementos correspondentes das matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes R = 4 & 16^y & -1 9^x & a & 0 , S = 1 & 4^2y-1 & 2^-1 3^x & b & 1 , T = b & 2^2y-1 - 10 & c 27 & 13 & -6 , e conforme dadas:

Passo 3

Vamos calcular 6S = 6 times 1 & 6 times 4^2y-1 & 6 times 2^-1 6 times 3^x & 6 times b & 6 times 1 = 6 & 6 cdot 4^2y-1 & 3 6 cdot 3^x & 6b & 6 , multiplicando cada elemento de por 6:

[
6S =


]

Passo 4

Agora, vamos subtrair R - 6S = T de 4 - 6 = b 16^y - 6 cdot 4^2y-1 = 2^2y-1 - 10 -1 - 3 = c 9^x - 6 cdot 3^x = 27 a - 6b = 13 0 - 6 = -6 e igualar a :
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver cada equação uma por uma.
Primeira equação:
4 - 6 = b Rightarrow b = -2
Segunda equação:
16^y = (4^2)^y = 4^2y = (2^2)^2y = 2^4y
Então:
2^4y - 6 cdot 4^2y-1 = 2^2y-1 - 10
Vamos simplificar 2^4y - 6 cdot 2^4y-2 = 2^2y-1 - 10 , então:
2^2y+1 - 6 cdot 2^4y-22^2y-1 = 1 - 102^2y-1
Dividindo ambos os lados por 16^1 - 6 cdot 4^1 = 2^1 - 10 Rightarrow 16 - 24 = 2 - 10 Rightarrow -8 = -8 :
Isso é complicado, então vamos tentar valores inteiros para . Tentando :
Então, .

Passo 6

Terceira equação:
-1 - 3 = c Rightarrow c = -4
Quarta equação:
9^x - 6 cdot 3^x = 27
Sabemos que 3^2x - 6 cdot 3^x - 27 = 0 , então:
z^2 - 6z - 27 = 0
Vamos fazer z = 6 pm raiz36 + 1082 = 6 pm raiz1442 = 6 pm 122 , então:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou (descartamos pois ).
Então, .

Passo 7

Quinta equação:
a - 6b = 13
Sabemos que a - 6(-2) = 13 Rightarrow a + 12 = 13 Rightarrow a = 1 :

Passo 8

Última equação já está satisfeita:
0 - 6 = -6

Resposta

Agora, temos x^2 + y^2 + a^2 + b^2 + c^2 = 2^2 + 1^2 + 1^2 + (-2)^2 + (-4)^2 = 4 + 1 + 1 + 4 + 16 = 26 , , , e . A soma dos quadrados é:
Resposta final: 26

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