Seja E=(i, j, k) uma base ortonormal. Sendo u=1raiz3(i+j-k), v= 1raiz2(j+k) e v=1raiz6(2 i-j+k), prove que F=(u, v, w) é uma base ortonormal e calcule as coordenadas do vetor a=3 i-2 j-k em relação à base F.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos dá uma base ortonormal padrão e três vetores , e definidos em termos dessa base. Nosso objetivo é provar que também é uma base ortonormal e, depois, encontrar as coordenadas do vetor nessa nova base. Para isso, vamos precisar verificar se os vetores são unitários e ortogonais entre si, e depois projetar nessa base.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se cada vetor |x| = raizx1^2 + x2^2 + x3^2 , u = 1raiz3(i + j - k) e |u| = 1raiz3 raiz1^2 + 1^2 + (-1)^2 = 1raiz3 raiz3 = 1 é um vetor unitário. Isso significa que o comprimento (ou norma) de cada vetor deve ser igual a 1. A fórmula para a norma de um vetor v = 1raiz2(j + k) é:
|v| = 1raiz2 raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = 1raiz2 raiz2 = 1
Vamos calcular a norma de w = 1raiz6(2i - j + k) :
|w| = 1raiz6 raiz2^2 + (-1)^2 + 1^2 = 1raiz6 raiz6 = 1
Fazendo o mesmo para e :
Então, todos os vetores têm norma igual a 1.

Passo 3

Agora, vamos verificar se os vetores são ortogonais entre si. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) entre eles for zero. O produto interno de dois vetores a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 e u cdot v = 1raiz3(1) cdot 1raiz2(0) + 1raiz3(1) cdot 1raiz2(1) + 1raiz3(-1) cdot 1raiz2(1) é dado por:
= 0 + 1raiz6 - 1raiz6 = 0
Vamos calcular os produtos internos entre u cdot w = 1raiz3(1) cdot 1raiz6(2) + 1raiz3(1) cdot 1raiz6(-1) + 1raiz3(-1) cdot 1raiz6(1) , = 2raiz18 - 1raiz18 - 1raiz18 = 0 e v cdot w = 1raiz2(0) cdot 1raiz6(2) + 1raiz2(1) cdot 1raiz6(-1) + 1raiz2(1) cdot 1raiz6(1) :
Primeiro, = 0 - 1raiz12 + 1raiz12 = 0 :
Segundo, :
Terceiro, :
Como todos os produtos internos são zero, os vetores são mutuamente ortogonais.

Passo 4

Como já verificamos que cada vetor , e tem norma 1 e são ortogonais entre si, podemos concluir que é realmente uma base ortonormal.

Passo 5

Agora, vamos calcular as coordenadas do vetor au = a cdot u na base av = a cdot v . Para isso, usamos a fórmula da projeção de aw = a cdot w em cada vetor da base ortonormal. As coordenadas serão:
au = a cdot u = (3)(1raiz3) + (-2)(1raiz3) + (-1)(-1raiz3) = 3 - 2 + 1raiz3 = 2raiz3
av = a cdot v = (3)(0) + (-2)(1raiz2) + (-1)(1raiz2) = -2raiz2 - 1raiz2 = -3raiz2
aw = a cdot w = (3)(2raiz6) + (-2)(-1raiz6) + (-1)(1raiz6) = 6raiz6 + 2raiz6 - 1raiz6 = 7raiz6
Vamos calcular cada uma:
Primeiro, :
Segundo, :
Terceiro, :

Resposta

As coordenadas do vetor a = 2raiz3,u - 3raiz2,v + 7raiz6,w na base são:

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