Seja
uma base ortonormal. Sendo
e
, prove que
é uma base ortonormal
calcule as coordenadas do vetor
em relação à base
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício nos dá uma base ortonormal padrão
e três vetores
,
e
definidos em termos dessa base. Nosso objetivo é provar que
também é uma base ortonormal e, depois, encontrar as coordenadas do vetor
nessa nova base. Para isso, vamos precisar verificar se os vetores são unitários e ortogonais entre si, e depois projetar
nessa base.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se cada vetor
,
e
é um vetor unitário. Isso significa que o comprimento (ou norma) de cada vetor deve ser igual a 1. A fórmula para a norma de um vetor
é:
Vamos calcular a norma de
:
Fazendo o mesmo para
e
:
Então, todos os vetores têm norma igual a 1.
Passo 3
Agora, vamos verificar se os vetores são ortogonais entre si. Dois vetores são ortogonais se o produto interno (ou produto escalar) entre eles for zero. O produto interno de dois vetores
e
é dado por:
Vamos calcular os produtos internos entre
,
e
:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Terceiro,
:
Como todos os produtos internos são zero, os vetores são mutuamente ortogonais.
Passo 4
Como já verificamos que cada vetor
,
e
tem norma 1 e são ortogonais entre si, podemos concluir que
é realmente uma base ortonormal.
Passo 5
Agora, vamos calcular as coordenadas do vetor
na base
. Para isso, usamos a fórmula da projeção de
em cada vetor da base ortonormal. As coordenadas serão:
Vamos calcular cada uma:
Primeiro,
:
Segundo,
:
Terceiro,
:
Resposta
As coordenadas do vetor
na base
são: