Considere as matrizes: A=[ccc6 & 1 & 0 3 & -2 & 4] B=[cc1 & 6 8 & -1 2 & 1] C=[ll0 & 0 1 & 1 2 & 2] D=[ccc2 & -1 & 0 -2 & 0 & 1].
(b) Diga quais dos produtos seguintes não estão definidos: B.C, A.C,C.D, A. D^t, C^t cdot D, e determine os que estão definidos.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício! Temos quatro matrizes: A, B, C e D, com dimensões diferentes. A questão pede para verificarmos quais dos produtos entre essas matrizes estão definidos e, para os que estão, calcular o produto. Para resolver isso, vamos lembrar como funciona a multiplicação de matrizes e verificar as dimensões para cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira deve ser igual ao número de linhas da segunda. Se isso acontecer, o produto estará definido e a matriz resultante terá o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.

Passo 3

Vamos identificar as dimensões de cada matriz:
  • A é uma matriz 2x3 (2 linhas e 3 colunas).
  • B é uma matriz 3x2.
  • C é uma matriz 3x2.
  • D é uma matriz 2x3.

Passo 4

Agora, vamos verificar cada produto solicitado:
B.C
  • B é 3x2 e C é 3x2.
  • O número de colunas de B (2) não é igual ao número de linhas de C (3).
  • Produto não está definido.
A.C
  • A é 2x3 e C é 3x2.
  • 3 colunas de A = 3 linhas de C.
  • Produto está definido e resultará em uma matriz 2x2.
C.D
  • C é 3x2 e D é 2x3.
  • 2 colunas de C = 2 linhas de D.
  • Produto está definido e resultará em uma matriz 3x3.
A.Dᵗ
  • Primeiro, precisamos encontrar a transposta de D, que troca linhas por colunas.
  • Dᵗ será uma matriz 3x2.
  • A é 2x3 e Dᵗ é 3x2.
  • 3 colunas de A = 3 linhas de Dᵗ.
  • Produto está definido e resultará em uma matriz 2x2.
Cᵗ.D
  • Cᵗ é a transposta de C, então Cᵗ é 2x3.
  • D é 2x3.
  • 3 colunas de Cᵗ ≠ 2 linhas de D.
  • Produto não está definido.

Passo 5

Agora, vamos calcular os produtos que estão definidos.
A.C
A = 6 & 1 & 0 3 & -2 & 4 , C = 0 & 0 1 & 1 2 & 2
AC = 6*0 + 1*1 + 0*2 & 6*0 + 1*1 + 0*2 3*0 + (-2)*1 + 4*2 & 3*0 + (-2)*1 + 4*2 = 1 & 1 6 & 6
C.D
C = 0 & 0 1 & 1 2 & 2 , D = 2 & -1 & 0 -2 & 0 & 1
CD = 0*2 + 0*(-2) & 0*(-1) + 0*0 & 0*0 + 0*1 1*2 + 1*(-2) & 1*(-1) + 1*0 & 1*0 + 1*1 2*2 + 2*(-2) & 2*(-1) + 2*0 & 2*0 + 2*1 = 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 0 & -2 & 2
A.Dᵗ
D^top = 2 & -2 -1 & 0 0 & 1 , A = 6 & 1 & 0 3 & -2 & 4
AD^top = 6*2 + 1*(-1) + 0*0 & 6*(-2) + 1*0 + 0*1 3*2 + (-2)*(-1) + 4*0 & 3*(-2) + (-2)*0 + 4*1 = 12 -1 + 0 & -12 + 0 + 0 6 + 2 + 0 & -6 + 0 + 4 = 11 & -12 8 & -2

Resposta

Os produtos B.C e Cᵗ.D não estão definidos. Os produtos que estão definidos são:
AC = 1 & 1 6 & 6 , CD = 0 & 0 & 0 0 & -1 & 1 0 & -2 & 2 , AD^top = 11 & -12 8 & -2

Exercícios relacionados