Considere as matrizes: A=[llla1 & a2 & a3], B=[lb1 b2 b3], C=[cccc1 & 0 & 0 0 & c2 & 0 0 & 0 & c3], D=[cccd1 & 0 & 0 0 & d2 & 0 0 & 0 & d3].
(b) Verifique que C cdot D=D cdot C.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas, a C e a D, que são matrizes diagonais. O exercício pede para a gente verificar se a multiplicação de C por D é igual à multiplicação de D por C, ou seja, se C \cdot D = D \cdot C. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das matrizes diagonais e ver como a multiplicação delas funciona.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. No nosso caso:
C = c1 & 0 & 0 0 & c2 & 0 0 & 0 & c3 , D = d1 & 0 & 0 0 & d2 & 0 0 & 0 & d3

Passo 3

Agora, vamos lembrar como é feita a multiplicação de duas matrizes. Para multiplicar duas matrizes, a gente multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e soma os produtos. Mas, como C e D são matrizes diagonais, isso simplifica bastante a gente!

Passo 4

Vamos calcular C \cdot D:
C cdot D = c1 cdot d1 & c1 cdot 0 & c1 cdot 0 0 cdot d1 & c2 cdot d2 & c2 cdot 0 0 cdot d1 & 0 cdot d2 & c3 cdot d3 = c1d1 & 0 & 0 0 & c2d2 & 0 0 & 0 & c3d3

Passo 5

Agora, vamos calcular D \cdot C da mesma forma:
D cdot C = d1 cdot c1 & d1 cdot 0 & d1 cdot 0 0 cdot c1 & d2 cdot c2 & d2 cdot 0 0 cdot c1 & 0 cdot c2 & d3 cdot c3 = d1c1 & 0 & 0 0 & d2c2 & 0 0 & 0 & d3c3

Passo 6

Perceba que em ambos os casos, a multiplicação resultou na mesma matriz diagonal:
C cdot D = c1d1 & 0 & 0 0 & c2d2 & 0 0 & 0 & c3d3 = D cdot C
Isso acontece porque, nas matrizes diagonais, a ordem da multiplicação não altera o resultado, já que os elementos fora da diagonal são zero e os elementos da diagonal são apenas produtos dos correspondentes e .

Resposta

Sim, .

Exercícios relacionados