Considere as matrizes: .
(b) Verifique que C cdot D=D cdot C.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas matrizes quadradas, a C e a D, que são matrizes diagonais. O exercício pede para a gente verificar se a multiplicação de C por D é igual à multiplicação de D por C, ou seja, se C \cdot D = D \cdot C. Para resolver isso, vamos usar as propriedades das matrizes diagonais e ver como a multiplicação delas funciona.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que é uma matriz diagonal. Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada onde todos os elementos fora da diagonal principal são zero. No nosso caso:
Agora, vamos lembrar como é feita a multiplicação de duas matrizes. Para multiplicar duas matrizes, a gente multiplica as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda e soma os produtos. Mas, como C e D são matrizes diagonais, isso simplifica bastante a gente!
Perceba que em ambos os casos, a multiplicação resultou na mesma matriz diagonal:
C cdot D = c1d1 & 0 & 0 0 & c2d2 & 0 0 & 0 & c3d3 = D cdot C
Isso acontece porque, nas matrizes diagonais, a ordem da multiplicação não altera o resultado, já que os elementos fora da diagonal são zero e os elementos da diagonal são apenas produtos dos correspondentes e .