Dê exemplo de duas matrizes quadradas e de mesma ordem que satisfazem: e mas o produto . Se 𝟘 então ? Se então ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar dois exemplos de matrizes quadradas e de mesma ordem, que não sejam matrizes nulas ( e ), mas que o produto delas seja a matriz nula ( ). Além disso, precisamos responder se, se , então , e se implica que . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear sobre matrizes e suas propriedades de multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar exemplos de matrizes e que satisfaçam , e . Vamos considerar matrizes 2x2 para simplificar.
Vamos escolher:
Vamos verificar o produto :
Ops, esse produto não deu a matriz nula. Vamos ajustar as matrizes para que o produto resulte em zero.
Escolhemos então:
Mas aí é a matriz nula, o que não atende à condição.
Vamos tentar outra vez:
Agora, calculando :
Aí sim! Temos e , .

Passo 3

Agora, vamos responder às perguntas adicionais.
Se , então ?
Não necessariamente. A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, pode ser diferente de . Vamos calcular com nossos exemplos:
Viu só? não é a matriz nula, então não implica que .
Se , então ?
Sim, nesse caso específico, se , isso implica que deve ser a matriz nula. Isso acontece porque, para ser nula, todos os elementos de devem ser zero. Caso contrário, pelo menos um produto não nulo apareceria no resultado.

Resposta

Foram fornecidos exemplos de matrizes e não nulas que satisfazem . Além disso, demonstramos que não implica e que se , então necessariamente .

Exercícios relacionados

Considere as matrizes: .
(b) Verifique que .
Considere as matrizes: .
(a) Determine e .
Considere as matrizes: .
(b) Diga quais dos produtos seguintes não estão definidos: B.C, A.C,C.D, A. , e determine os que estão definidos.
Dadas as matrizes , mostre que . (este exercício mostra que a lei do cancelamento não é válida para o produto de matrizes)