Dadas as matrizes A=[ccc1 & -3 & 2 2 & 1 & -3 4 & -3 & -1] B=[cccc1 & 4 & 1 & 0 2 & 1 & 1 & 1 1 & -2 & 1 & 2] C=[cccc2 & 1 & -1 & -2 3 & -2 & -1 & -1 2 & -5 & -1 & 0], mostre que A cdot B=A cdot C. (este exercício mostra que a lei do cancelamento não é válida para o produto de matrizes)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá três matrizes, , e , e pede para mostrar que . Isso vai nos levar a entender como funciona a multiplicação de matrizes e perceber que, diferente dos números, a lei do cancelamento não vale para elas. Vamos precisar lembrar como multiplicar matrizes passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como multiplicar duas matrizes. A multiplicação de matrizes só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda. O resultado será uma nova matriz onde cada elemento é a soma dos produtos dos elementos correspondentes das linhas da primeira matriz e das colunas da segunda matriz.

Passo 3

Vamos calcular A cdot B = 1 & -3 & 2 2 & 1 & -3 4 & -3 & -1 cdot 1 & 4 & 1 & 0 2 & 1 & 1 & 1 1 & -2 & 1 & 2 = -3 & -3 & 0 & 1 1 & 15 & 0 & -5 -3 & 15 & 0 & -5 . A matriz é e é , então o resultado será uma matriz .

[
A \cdot B =
\cdot


]

Passo 4

Agora, vamos calcular A cdot C = 1 & -3 & 2 2 & 1 & -3 4 & -3 & -1 cdot 2 & 1 & -1 & -2 3 & -2 & -1 & -1 2 & -5 & -1 & 0 = -3 & -3 & 0 & 1 1 & 15 & 0 & -5 -3 & 15 & 0 & -5 . A matriz também é , então o resultado será outra matriz .

[
A \cdot C =
\cdot


]

Passo 5

Vamos comparar os resultados de A cdot B = A cdot C = -3 & -3 & 0 & 1 1 & 15 & 0 & -5 -3 & 15 & 0 & -5 e . Olhando as duas matrizes resultantes, vemos que elas são exatamente iguais:

Resposta

Sim, é igual a . Portanto, .

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