Considere as matrizes: A=[cccc1 & -4 & 1 & 2 1 & -2 & 4 & 1 2 & -6 & 4 & 4] e B=[cccc1 & -4 & 1 & 2 0 & 2 & 3 & -1 0 & 2 & 2 & 0]
Se existir determine um produto de matrizes elementares F, tais que B=F cdot A, mostre as matrizes elementares envolvidas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá duas matrizes, e , e pede para descobrir se existe uma matriz elementar tal que . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de matrizes elementares e operações elementares de linha, que são ferramentas para transformar uma matriz em outra.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são matrizes elementares. Elas são matrizes que representam uma única operação elementar de linha, como trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero, ou adicionar um múltiplo de uma linha a outra linha. Essas operações são usadas para resolver sistemas lineares e encontrar a forma escalonada de uma matriz.

Passo 3

Agora, vamos analisar as matrizes A = 1 & -4 & 1 & 2 1 & -2 & 4 & 1 2 & -6 & 4 & 4 e B = 1 & -4 & 1 & 2 0 & 2 & 3 & -1 0 & 2 & 2 & 0 :
Observamos que a primeira linha de é igual à primeira linha de . Isso sugere que a operação para transformar em não alterou a primeira linha.

Passo 4

Vamos focar nas linhas que mudaram. Comparando a segunda e a terceira linhas de e :
  • Segunda linha de :
  • Segunda linha de :
  • Terceira linha de :
  • Terceira linha de :
Isso indica que houve combinações lineares das linhas em para obter .

Passo 5

Vamos identificar quais operações foram feitas. Começamos pela segunda linha. Para transformar L2' = L2 - L1 em [1 - 1, -2 - (-4), 4 - 1, 1 - 2] = [0, 2, 3, -1] , podemos subtrair a primeira linha de si mesma e ajustar:
Calculando:
Isso confirma que subtrair a primeira linha da segunda linha dá a segunda linha de .

Passo 6

Agora, para a terceira linha. Queremos de L3' = L3 - 2L1 para [2 - 2(1), -6 - 2(-4), 4 - 2(1), 4 - 2(2)] = [0, 2, 2, 0] . Podemos fazer:
Calculando:
Isso confirma que subtrair duas vezes a primeira linha da terceira linha dá a terceira linha de .

Passo 7

Agora, vamos construir a matriz elementar E1 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 que realiza essas operações. Cada operação de linha corresponde a uma matriz elementar:
  1. Para E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 :
  1. Para :

Passo 8

A matriz F = E2 cdot E1 que realiza ambas as operações é a multiplicação dessas matrizes elementares:
F = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 cdot 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 -2 & 0 & 1
Calculando:

[
F =
\cdot


]

Resposta

Sim, existe a matriz elementar E1 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 , E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 que transforma F = E2 cdot E1 = 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 em . As matrizes elementares envolvidas são:
E a matriz é o produto dessas matrizes:

Exercícios relacionados