Determinar o valor de a para que os Sistemas Lineares abaixo:
lx+y+a z=2 3 x+4 y+2 z=a 2 x+3 y-z=1
Tenham:
Nenhuma solução.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse sistema de equações lineares para descobrir qual valor de faz com que ele não tenha solução. Aqui, vamos usar um pouco de álgebra linear, especificamente o método de elimininação de Gauss, para simplificar o sistema e identificar quando ele fica inconsistente.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema na forma de matriz aumentada:
1 & 1 & a & | & 2 3 & 4 & 2 & | & a 2 & 3 & -1 & | & 1
Vamos usar operações de linha para simplificar essa matriz.

Passo 3

Vamos eliminar o 3(1) - 3 = 0 3(1) - 4 = -1 3(a) - 2 = 3a - 2 3(2) - a = 6 - a das segunda e terceira equações. Para isso, multiplicamos a primeira equação por 3 e subtraímos da segunda, e multiplicamos a primeira por 2 e subtraímos da terceira:
  • Nova Equação 2: 0x - y + (3a - 2)z = 6 - a
2(1) - 2 = 0 2(1) - 3 = -1 2(a) - (-1) = 2a + 1 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3
Então, a segunda equação fica:
0x - y + (2a + 1)z = 3
  • Nova Equação 3:
Então, a terceira equação fica:

Passo 4

Agora, nosso sistema fica assim:
x + y + a z = 2 -y + (3a - 2)z = 6 - a -y + (2a + 1)z = 3
Vamos focar nas duas últimas equações para eliminar o - y + (3a - 2)z = 6 - a (E2) - y + (2a + 1)z = 3 (E3) :
[(3a - 2) - (2a + 1)]z = (6 - a) - 3
Subtraindo (a - 3)z = 3 - a de para eliminar :
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos a equação:
(a - 3)z = 3 - a
Podemos reescrever o lado direito como:
3 - a = -(a - 3)
Então:
(a - 3)z = -(a - 3)
Se z = -1 , podemos dividir ambos os lados por - y + (2a + 1)(-1) = 3 - y - 2a - 1 = 3 - y = 3 + 2a + 1 y = - (4 + 2a) :
x + (-4 - 2a) + a(-1) = 2 x - 4 - 2a - a = 2 x - 4 - 3a = 2 x = 6 + 3a
Agora, vamos substituir em :
E substituir e na primeira equação para encontrar :

Passo 6

Até aqui, conseguimos expressar (a - 3)z = 3 - a e 0 cdot z = 0 em termos de x + y + 3z = 2 3x + 4y + 2z = 3 2x + 3y - z = 1 quando . Agora, vamos ver o que acontece quando :
Voltando à equação após as eliminações:
Se , temos:
Isso significa que não há restrição sobre , então o sistema ainda poderia ter soluções. Porém, precisamos verificar se todas as equações são consistentes.
Substituindo nas equações originais:
Tentando resolver, podemos ver que as equações ainda são consistentes, então não causa inconsistência.

Passo 7

Para garantir que o sistema não tenha solução, precisamos que as equações se contradigam. Olhando de novo para a equação:
(a - 3)z = 3 - a
Se rearranjarmos:
(a - 3)(z + 1) = 0
Isso nos mostra que ou ou . Mas vimos que não causa inconsistência. Portanto, na verdade, o sistema sempre tem soluções para qualquer valor de .

Passo 8

Isso significa que não existe nenhum valor de que faça o sistema não ter solução. O sistema é consistente para todo .

Resposta

Não existe nenhum valor de que faça o sistema não ter solução. O sistema sempre possui solução para qualquer valor de .

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