Encontre k para que o sistema tenha solução não trivial (x=y=z=0),
ll x-5 y+2 z & =0 x+y+z & =0 3 x+2 y+k z & =0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações para encontrar o valor de que faz com que a única solução seja a trivial . Estamos lidando com álgebra linear, especificamente com sistemas lineares. Para isso, vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes e ajustar para que ele seja zero, garantindo assim que o sistema tenha soluções não triviais.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema:
1 & -5 & 2 1 & 1 & 1 3 & 2 & k

Passo 3

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. O determinante nos ajuda a saber se o sistema tem soluções únicas, infinitas ou nenhuma. Se o determinante for zero, o sistema terá soluções não triviais.
Determinante = 1 cdot (1 cdot k - 1 cdot 2) - (-5) cdot (1 cdot k - 1 cdot 3) + 2 cdot (1 cdot 2 - 1 cdot 3)

Passo 4

Vamos simplificar o cálculo do determinante:
Determinante = 1 cdot (k - 2) + 5 cdot (k - 3) + 2 cdot (-1)
Determinante = (k - 2) + 5k - 15 - 2
Determinante = 6k - 19

Passo 5

Para que o sistema tenha soluções não triviais, o determinante deve ser igual a zero:
6k - 19 = 0

Passo 6

Resolvendo para 6k = 19 implies k = 196 :

Resposta

O valor de é .

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