Determine se é verdadeiro ou falso que:
(b) O produto por escalar de uma matriz da forma el e um escalar não nulo é uma matriz da forma el.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se, ao multiplicar uma matriz do tipo por um escalar diferente de zero, a matriz resultante ainda é do tipo . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente de matrizes e produtos escalares, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz E23 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 . Essa matriz é uma matriz com todos os elementos iguais a zero, exceto o elemento na posição , que é 1. Então, por exemplo, se e , a matriz seria:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa matriz k cdot Eij = 0 & cdots & 0 vdots & k & vdots 0 & cdots & 0 por um escalar não nulo. O produto escalar é feito multiplicando cada elemento da matriz pelo escalar :
Ou seja, todos os zeros continuam zero, e o elemento na posição passa a ser .

Passo 4

Agora, vamos comparar a matriz resultante com a forma original . Enquanto tem exatamente um 1 em uma posição específica, tem o escalar nessa posição. A única maneira de ser igual a é se .

Passo 5

Como o enunciado diz que o escalar 2 cdot Eij = 0 & cdots & 0 vdots & 2 & vdots 0 & cdots & 0 é não nulo, mas não necessariamente igual a 1, há casos em que não será do tipo . Por exemplo, se , então:
Isso não é mais uma matriz , já que o elemento na posição não é mais 1.

Resposta

Falso.

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