Expresse os seguintes polinômios como combinação linear de p1(x)=2+x+4 x^2, p2(x)=1-x+3 x^2 e p3(x)=3+2 x+5 x^2: 3+3 x+5 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente expressar o polinômio como uma combinação linear dos polinômios , e . Isso tudo está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente trabalhando com combinacão linear de vetores (nesse caso, vetores são os polinômios). Para resolver, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações lineares que vai nos dar os coeficientes dessa combinação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar números a cdot p1(x) + b cdot p2(x) + c cdot p3(x) = 3 + 3x + 5x^2 , a cdot (2 + x + 4x^2) + b cdot (1 - x + 3x^2) + c cdot (3 + 2x + 5x^2) = 3 + 3x + 5x^2 e tais que:
Substituindo os polinômios dados, temos:

Passo 3

Vamos distribuir os coeficientes (2a) + (a cdot x) + (4a cdot x^2) + (b) + (-b cdot x) + (3b cdot x^2) + (3c) + (2c cdot x) + (5c cdot x^2) = 3 + 3x + 5x^2 , 2a + b + 3c = 3 a - b + 2c = 3 4a + 3b + 5c = 5 e dentro dos parênteses:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
  • Termo constante:
  • Termo com :
  • Termo com :
Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
a - b + 2c = 3 Rightarrow a = 3 + b - 2c
Agora, substituímos 2(3 + b - 2c) + b + 3c = 3 6 + 2b - 4c + b + 3c = 3 3b - c = -3 (Equação 1a) na primeira equação:
4(3 + b - 2c) + 3b + 5c = 5 12 + 4b - 8c + 3b + 5c = 5 7b - 3c = -7 (Equação 3a) çã
Substituímos 3b - c = -3 7b - 3c = -7 na terceira equação:
c = 3b + 3 çã
Agora temos um sistema com duas equações:
7b - 3(3b + 3) = -7 7b - 9b - 9 = -7 -2b = 2 b = -1
Da primeira equação, isolamos c = 3(-1) + 3 = 0 :
a = 3 + (-1) - 2(0) = 2
Substituímos na segunda equação:
Agora, encontramos :
E finalmente, encontramos :

Resposta

Então, os coeficientes são 3 + 3x + 5x^2 = 2 cdot p1(x) - 1 cdot p2(x) + 0 cdot p3(x) , 3 + 3x + 5x^2 = 2p1(x) - p2(x) e . Logo, o polinômio pode ser expresso como:
Ou simplificando:

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