Expresse os seguintes polinômios como combinação linear de e :
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente expressar o polinômio como uma combinação linear dos polinômios , e . Isso tudo está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente trabalhando com combinacão linear de vetores (nesse caso, vetores são os polinômios). Para resolver, vamos precisar montar e resolver um sistema de equações lineares que vai nos dar os coeficientes dessa combinação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar números , e tais que:
Substituindo os polinômios dados, temos:
Passo 3
Vamos distribuir os coeficientes , e dentro dos parênteses:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Termo constante:
Termo com :
Termo com :
Então, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação:
a - b + 2c = 3 Rightarrow a = 3 + b - 2c
Agora, substituímos 2(3 + b - 2c) + b + 3c = 3 6 + 2b - 4c + b + 3c = 3 3b - c = -3 (Equação 1a) na primeira equação: