Dadas as matrizes e tais que , determine os valores de e .
Resposta: e
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão nos pede. Temos duas matrizes, e , com algumas incógnitas e . Sabemos que ao multiplicar pela transposta de , obtemos uma nova matriz. Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa igualdade ser verdadeira. Para isso, vamos usar o conceito de multiplicação de matrizes e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a transposta da matriz , que é denotada por . A transposta de uma matriz troca suas linhas por colunas.
Matriz :
Transposta de :
Passo 3
Agora, vamos multiplicar a matriz A = a & b & 1 -1 & 1 & a pela transposta de A cdot B^T = a cdot 1 + b cdot (-1) + 1 cdot 0 & a cdot 0 + b cdot 1 + 1 cdot 0 -1 cdot 1 + 1 cdot (-1) + a cdot 0 & -1 cdot 0 + 1 cdot 1 + a cdot 0 = a - b & b -2 & 1 . A multiplicação de matrizes envolve multiplicar as linhas de pelas colunas de .
Matriz :
Multiplicação :
Passo 4
A questão nos diz que 3 & 4 -2 & 1 resulta na seguinte matriz:
a - b = 3 b = 4 -2 = -2 1 = 1
Isso nos dá um sistema de equações comparando elemento por elemento:
As últimas duas equações já estão satisfeitas, então precisamos resolver as duas primeiras.
Passo 5
Sabemos que a - 4 = 3 a = 3 + 4 a = 7 . Substituindo esse valor na primeira equação: