Identifique as quádricas a seguir e faça um esboço de cada uma destacando os seus elementos (intersecções com eixos coordenados, centros, vértices, etc.)
4 x^2-2 y^2-2 z^2=3

Passo 1

Beleza, então você tem a seguinte equação de uma quádica: . A gente vai trabalhar com o conteúdo de quádricas, que são superfícies geométricas definidas por equações de segundo grau em três variáveis. Para resolver isso, precisamos identificar que tipo de quádica é essa e depois fazer um esboço destacando seus elementos principais, como intersecções com os eixos coordenados, centro e vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão para facilitar a identificação. A equação dada é:
4x^2 - 2y^2 - 2z^2 = 3
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por 3:
4x^23 - 2y^23 - 2z^23 = 1
Isso fica:
x^234 - y^232 - z^232 = 1

Passo 3

Agora, observando a forma padrão, percebemos que temos um termo positivo ( ) e dois termos negativos ( e ). Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha, que é o caso quando uma variável tem sinal diferente das outras duas.

Passo 4

Vamos identificar os elementos da quádica:
  • Centro: Como não temos termos lineares em x, y ou z, o centro da quádica está na origem, ou seja, no ponto (0, 0, 0).
  • Vértices: Para encontrar os vértices, olhamos para o termo positivo. O valor sob o x² é -2y^2 = 3 , então a distância do centro aos vértices ao longo do eixo x é y^2 = -32 . Portanto, os vértices estão nos pontos -2z^2 = 3 e z^2 = -32 .
  • Intersecções com os eixos coordenados:
    • Eixo x: Já identificamos os vértices nos pontos e .
    • Eixo y: Para encontrar a intersecção com o eixo y, colocamos x = 0 e z = 0 na equação original: Como não temos soluções reais, não há intersecção com o eixo y.
    • Eixo z: Similarmente, colocando x = 0 e y = 0: Também não há intersecção com o eixo z.

Resposta

A quádica é um hiperboloide de uma folha com centro na origem , vértices em e . Não possui intersecções reais com os eixos y e z.

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