Identifique as quádricas a seguir e faça um esboço de cada uma destacando os seus elementos (intersecções com eixos coordenados, centros, vértices, etc.)
Passo 1
Beleza, então você tem a seguinte equação de uma quádica:
. A gente vai trabalhar com o conteúdo de quádricas, que são superfícies geométricas definidas por equações de segundo grau em três variáveis. Para resolver isso, precisamos identificar que tipo de quádica é essa e depois fazer um esboço destacando seus elementos principais, como intersecções com os eixos coordenados, centro e vértices.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão para facilitar a identificação. A equação dada é:
Para simplificar, vamos dividir todos os termos por 3:
Isso fica:
Passo 3
Agora, observando a forma padrão, percebemos que temos um termo positivo (
) e dois termos negativos (
e
). Isso indica que estamos lidando com um hiperboloide de uma folha, que é o caso quando uma variável tem sinal diferente das outras duas.
Passo 4
Vamos identificar os elementos da quádica:
-
Centro: Como não temos termos lineares em x, y ou z, o centro da quádica está na origem, ou seja, no ponto (0, 0, 0).
-
Vértices: Para encontrar os vértices, olhamos para o termo positivo. O valor sob o x² é
, então a distância do centro aos vértices ao longo do eixo x é . Portanto, os vértices estão nos pontos e . -
Intersecções com os eixos coordenados:
- Eixo x: Já identificamos os vértices nos pontos
e . - Eixo y: Para encontrar a intersecção com o eixo y, colocamos x = 0 e z = 0 na equação original:
Como não temos soluções reais, não há intersecção com o eixo y. - Eixo z: Similarmente, colocando x = 0 e y = 0:
Também não há intersecção com o eixo z.
- Eixo x: Já identificamos os vértices nos pontos
Resposta
A quádica
é um hiperboloide de uma folha com centro na origem
, vértices em
e
. Não possui intersecções reais com os eixos y e z.