No espaço vetorial M3 times 2(R), consideremos os vetores:
A=(ll 1 & 1 0 & 0 0 & 0 ) B=(ll 0 & 1 2 & 1 1 & 1 )
e C=(rr1 & 2 1 & 0 0 & -1)
Calcular X in M3 times 2(R) tal que A+X2-X-B3=C;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra linear no espaço das matrizes 3x2 com números reais. Dado as matrizes A + X2 - X - B3 = C , e , precisamos encontrar a matriz que satisfaz a equação:
Para resolver isso, vamos precisar saber como manipular equações envolvendo matrizes e realizar operações como adição, subtração e multiplicação por escalar. Vamos resolver passo a passo para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada. Temos:
A + X2 - X - B3 = C
Para facilitar, vamos eliminar os denominadores multiplicando todos os termos por 6 (o mínimo múltiplo comum de 2 e 3):
6 ( A + X2 ) - 6 ( X - B3 ) = 6C
Simplificando cada termo:
3(A + X) - 2(X - B) = 6C

Passo 3

Agora, vamos distribuir os números fora dos parênteses:
3A + 3X - 2X + 2B = 6C
Aqui, distribuímos o 3 com e o -2 com .

Passo 4

Em seguida, vamos combinar os termos semelhantes. Os termos com 3A + X + 2B = 6C são , que resulta em . Então temos:

Passo 5

Queremos isolar X = 6C - 3A - 2B . Para isso, vamos subtrair de ambos os lados da equação:
Pronto! Agora temos uma expressão para em termos das matrizes , e .

Passo 6

Agora, vamos calcular 6C = 6 times ( cc 1 & 2 1 & 0 0 & -1 ) = ( cc 6 & 12 6 & 0 0 & -6 ) substituindo as matrizes dadas:
Primeiro, calculamos 3A = 3 times ( cc 1 & 1 0 & 0 0 & 0 ) = ( cc 3 & 3 0 & 0 0 & 0 ) :
2B = 2 times ( cc 0 & 1 2 & 1 1 & 1 ) = ( cc 0 & 2 4 & 2 2 & 2 )
Depois, calculamos :
E :

Passo 7

Agora, substituímos esses valores na equação de X = ( cc 6 & 12 6 & 0 0 & -6 ) - ( cc 3 & 3 0 & 0 0 & 0 ) - ( cc 0 & 2 4 & 2 2 & 2 ) :
( cc 6 & 12 6 & 0 0 & -6 ) - ( cc 3 & 3 0 & 0 0 & 0 ) = ( cc 3 & 9 6 & 0 0 & -6 )
Primeiro, subtraímos ( cc 3 & 9 6 & 0 0 & -6 ) - ( cc 0 & 2 4 & 2 2 & 2 ) = ( cc 3 & 7 2 & -2 -2 & -8 ) :
Depois, subtraímos :

Resposta

A matriz X = ( cc 3 & 7 2 & -2 -2 & -8 ) que satisfaz a equação é:

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