Determine a equação da superfície quadrática que passa pelos pontos
, e
e verifique se ela é uma hipérbole.**
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente encontrar a equação de uma superfície quadrática que passa por três pontos específicos:
,
e
. Além disso, precisamos verificar se essa superfície é uma hipérbole. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações de superfícies quadráticas e como determinar seus parâmetros usando pontos conhecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma superfície quadrática geral em três dimensões pode ser representada pela equação:
Essa é uma equação bem completa que inclui todos os termos possíveis de segundo grau. Nosso objetivo é encontrar os valores dos coeficientes
que fazem com que essa equação passe pelos três pontos dados.
Passo 3
Como temos três pontos, podemos substituir as coordenadas de cada ponto na equação geral para criar um sistema de equações. Vamos fazer isso:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 4
Agora, temos um sistema de três equações com dez incógnitas, o que significa que não temos informações suficientes para determinar todos os coeficientes. Para simplificar, vamos assumir que alguns coeficientes são zero. Normalmente, para facilitar, podemos assumir que termos cruzados (
) e termos lineares (
) são zero. Isso simplifica a equação para:
Agora, nosso sistema de equações fica assim:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Da terceira equação:
Substituindo
na segunda equação:
E na primeira equação:
Passo 6
Agora sabemos que
,
e
. Podemos escolher um valor para
para determinar
. Vamos escolher
para simplificar.
Então:
Passo 7
Substituindo esses valores na equação simplificada:
Podemos reescrever isso como:
Passo 8
Essa equação representa uma reta dupla, que são duas retas que se cruzam no plano. No entanto, como estamos falando de superfícies em três dimensões e a equação resultante não envolve
, a superfície é na verdade um cone duplo.
Resposta
A equação da superfície quadrática que passa pelos pontos dados é
. Essa superfície é um cone duplo, não uma hipérbole.