Determine a equação da superfície quadrática que passa pelos pontos (1,2,0),(-1,-2,1), e (0,0,1) e verifique se ela é uma hipérbole.**

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente encontrar a equação de uma superfície quadrática que passa por três pontos específicos: (1,2,0), (-1,-2,1) e (0,0,1). Além disso, precisamos verificar se essa superfície é uma hipérbole. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações de superfícies quadráticas e como determinar seus parâmetros usando pontos conhecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma superfície quadrática geral em três dimensões pode ser representada pela equação:
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
Essa é uma equação bem completa que inclui todos os termos possíveis de segundo grau. Nosso objetivo é encontrar os valores dos coeficientes A, B, C, D, E, F, G, H, I, J que fazem com que essa equação passe pelos três pontos dados.

Passo 3

Como temos três pontos, podemos substituir as coordenadas de cada ponto na equação geral para criar um sistema de equações. Vamos fazer isso:
Para o ponto (1,2,0):
A(1)^2 + B(2)^2 + C(0)^2 + D(1)(2) + E(1)(0) + F(2)(0) + G(1) + H(2) + I(0) + J = 0 A + 4B + 2D + G + 2H + J = 0
Para o ponto (-1,-2,1):
A(-1)^2 + B(-2)^2 + C(1)^2 + D(-1)(-2) + E(-1)(1) + F(-2)(1) + G(-1) + H(-2) + I(1) + J = 0 A + 4B + C + 2D - E - 2F - G - 2H + I + J = 0
Para o ponto (0,0,1):
A(0)^2 + B(0)^2 + C(1)^2 + D(0)(0) + E(0)(1) + F(0)(1) + G(0) + H(0) + I(1) + J = 0 C + I + J = 0

Passo 4

Agora, temos um sistema de três equações com dez incógnitas, o que significa que não temos informações suficientes para determinar todos os coeficientes. Para simplificar, vamos assumir que alguns coeficientes são zero. Normalmente, para facilitar, podemos assumir que termos cruzados ( D, E, F) e termos lineares ( G, H, I) são zero. Isso simplifica a equação para:
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + J = 0
Agora, nosso sistema de equações fica assim:
  1. A + 4B + J = 0
  2. A + 4B + C + J = 0
  3. C + J = 0

Passo 5

Vamos resolver esse sistema passo a passo:
Da terceira equação:
C + J = 0 Rightarrow J = -C
Substituindo J = -C na segunda equação:
A + 4B + C - C = A + 4B = 0 Rightarrow A = -4B
E na primeira equação:
A + 4B - C = 0 -4B + 4B - C = 0 Rightarrow -C = 0 Rightarrow C = 0 Então, J = -C = 0 ã

Passo 6

Agora sabemos que A = -4B, C = 0 e J = 0. Podemos escolher um valor para B para determinar A. Vamos escolher B = 1 para simplificar.
Então:
A = -4(1) = -4 C = 0 J = 0

Passo 7

Substituindo esses valores na equação simplificada:
-4x^2 + y^2 + 0z^2 + 0 = 0 -4x^2 + y^2 = 0
Podemos reescrever isso como:
y^2 = 4x^2

Passo 8

Essa equação representa uma reta dupla, que são duas retas que se cruzam no plano. No entanto, como estamos falando de superfícies em três dimensões e a equação resultante não envolve z, a superfície é na verdade um cone duplo.

Resposta

A equação da superfície quadrática que passa pelos pontos dados é y^2 = 4x^2. Essa superfície é um cone duplo, não uma hipérbole.

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