Dizemos que uma matriz
é ortogonal se, e somente se,
. Determine:
(b) Quais matrizes reais de ordem 2 são simultaneamente antissimétricas e ortogonais.
(b) Quais matrizes reais de ordem 2 são simultaneamente antissimétricas e ortogonais.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar todas as matrizes reais de ordem 2 que são, ao mesmo tempo, antissimétricas e ortogonais. Para isso, vamos precisar conhecer o que significa cada uma dessas propriedades e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que é uma matriz antissimétrica. Uma matriz
é antissimétrica se sua transposta
é igual ao negativo dela mesma, ou seja:
Vamos representar uma matriz 2x2 genérica:
Aplicando a condição de antissimetria:
Comparando os elementos correspondentes, temos:
Então, a matriz
deve ter a forma:
Passo 3
Agora, vamos considerar a condição de que
é ortogonal. Uma matriz é ortogonal se o produto dela pela sua transposta resulta na matriz identidade
:
Vamos calcular
usando a forma da matriz que encontramos:
Para que
, precisamos que:
Isso implica que
, ou seja,
ou
.
Resposta
As matrizes reais de ordem 2 que são simultaneamente antissimétricas e ortogonais são: