Dizemos que uma matriz A é ortogonal se, e somente se, A A^T=I. Determine:
(b) Quais matrizes reais de ordem 2 são simultaneamente antissimétricas e ortogonais.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar todas as matrizes reais de ordem 2 que são, ao mesmo tempo, antissimétricas e ortogonais. Para isso, vamos precisar conhecer o que significa cada uma dessas propriedades e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que é uma matriz antissimétrica. Uma matriz A^T = -A é antissimétrica se sua transposta A = a & b c & d é igual ao negativo dela mesma, ou seja:
A^T = a & c b & d = -A = -a & -b -c & -d
Vamos representar uma matriz 2x2 genérica:
a = -a Rightarrow a = 0
Aplicando a condição de antissimetria:
d = -d Rightarrow d = 0
Comparando os elementos correspondentes, temos:
c = -b
A = 0 & b -b & 0
Então, a matriz deve ter a forma:

Passo 3

Agora, vamos considerar a condição de que A A^T = I é ortogonal. Uma matriz é ortogonal se o produto dela pela sua transposta resulta na matriz identidade A A^T = 0 & b -b & 0 0 & -b b & 0 = b^2 & 0 0 & b^2 :
b^2 & 0 0 & b^2 = 1 & 0 0 & 1
Vamos calcular usando a forma da matriz que encontramos:
Para que , precisamos que:
Isso implica que , ou seja, ou .

Resposta

As matrizes reais de ordem 2 que são simultaneamente antissimétricas e ortogonais são:
0 & 1 -1 & 0 e 0 & -1 1 & 0

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