Considere as matrizes: .
(a) Determine A B, B A, C B, A D e C^n, n in N.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente trabalhar com algumas matrizes específicas e realizar certas operações entre elas. Estamos na área de Álgebra Linear, focando em operações com matrizes como multiplicação e potenciação. Para resolver, vamos precisar entender como multiplicar matrizes de diferentes dimensões e como elevar uma matriz a uma potência.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular A = a1 & a2 & a3 , B = b1 b2 b3 . A matriz A cdot B = a1b1 + a2b2 + a3b3 é uma matriz linha de 1x3 e é uma matriz coluna de 3x1. Quando multiplicamos uma matriz linha por uma coluna, o resultado é um número (ou uma matriz 1x1).
A multiplicação fica assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular B cdot A = b1a1 & b1a2 & b1a3 b2a1 & b2a2 & b2a3 b3a1 & b3a2 & b3a3 . Desta vez, é 3x1 e é 1x3. Multiplicando uma matriz coluna por uma linha resulta em uma matriz 3x3.
Passo 4
Vamos calcular C = c1 & 0 & 0 0 & c2 & 0 0 & 0 & c3 , B = b1 b2 b3 . A matriz C cdot B = c1b1 c2b2 c3b3 é diagonal de 3x3 e é uma coluna 3x1. Multiplicação de uma matriz diagonal por uma coluna é simples: cada elemento da coluna é multiplicado pelo elemento correspondente na diagonal.
Multiplicação:
Passo 5
Agora, vamos para A = a1 & a2 & a3 , D = d1 & 0 & 0 0 & d2 & 0 0 & 0 & d3 . A matriz A cdot D = a1d1 & a2d2 & a3d3 é 1x3 e é uma matriz diagonal 3x3. Multiplicando uma matriz linha por uma matriz diagonal, cada elemento da linha é multiplicado pelo elemento correspondente na diagonal.
Multiplicação:
Passo 6
Por fim, vamos calcular C^n = c1^n & 0 & 0 0 & c2^n & 0 0 & 0 & c3^n , onde é um número natural. Como é uma matriz diagonal, elevar a uma potência é simples: cada elemento da diagonal é elevado a .
Resposta
As operações solicitadas resultam em:
A cdot B &= a1b1 + a2b2 + a3b3 B cdot A &= b1a1 & b1a2 & b1a3 b2a1 & b2a2 & b2a3 b3a1 & b3a2 & b3a3 C cdot B &= c1b1 c2b2 c3b3 A cdot D &= a1d1 & a2d2 & a3d3 C^n &= c1^n & 0 & 0 0 & c2^n & 0 0 & 0 & c3^n