Dadas as matrizes A=(cc-1 & -2 1 & 2) e B=(ll1 & 0 0 & 0), responda aos seguintes itens:
(a) Existe uma matriz M tal que A M=M B ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes, e , e queremos descobrir se existe uma matriz que, quando multiplicamos por , dá o mesmo resultado que multiplicamos por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre equações matriciais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes que a gente tem:
A = -1 & -2 1 & 2 , B = 1 & 0 0 & 0
E queremos encontrar uma matriz A cdot M = M cdot B de tamanho que satisfaça a equação:

Passo 3

Vamos chamar a matriz M = m11 & m12 m21 & m22 de:
Agora, vamos calcular os produtos e separadamente.

Passo 4

Calculando A cdot M = -1 & -2 1 & 2 m11 & m12 m21 & m22 = (-1)m11 + (-2)m21 & (-1)m12 + (-2)m22 1m11 + 2m21 & 1m12 + 2m22 :
A cdot M = -m11 - 2m21 & -m12 - 2m22 m11 + 2m21 & m12 + 2m22
Simplificando:

Passo 5

Agora, calculando M cdot B = m11 & m12 m21 & m22 1 & 0 0 & 0 = m11 cdot 1 + m12 cdot 0 & m11 cdot 0 + m12 cdot 0 m21 cdot 1 + m22 cdot 0 & m21 cdot 0 + m22 cdot 0 :
M cdot B = m11 & 0 m21 & 0
Simplificando:

Passo 6

Agora, igualamos -m11 - 2m21 & -m12 - 2m22 m11 + 2m21 & m12 + 2m22 = m11 & 0 m21 & 0 e :
Isso nos dá um sistema de equações:

Passo 7

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeira Equação:
- m11 - 2m21 = m11 Rightarrow -2m11 - 2m21 = 0 Rightarrow m11 + m21 = 0 (1)
Terceira Equação:
m11 + 2m21 = m21 Rightarrow m11 + m21 = 0 (2)
Observamos que as equações (1) e (2) são iguais, então não há conflito.
Segunda Equação:
- m12 - 2m22 = 0 Rightarrow m12 = -2m22 (3)
Quarta Equação:
m12 + 2m22 = 0 Rightarrow m12 = -2m22 (4)
Novamente, as equações (3) e (4) são iguais.

Passo 8

Das equações acima, vimos que:
  • M = m11 & -2m22 -m11 & m22
Isso significa que podemos escolher e livremente, e os outros elementos de serão determinados por essas escolhas.
Então, a matriz fica assim:

Resposta

Sim, existe uma matriz M = m11 & -2m22 -m11 & m22 que satisfaz . Essa matriz pode ser escrita como:
onde e são números reais quaisquer.

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