Dadas as matrizes e , responda aos seguintes itens:
(a) Existe uma matriz tal que ?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes, e , e queremos descobrir se existe uma matriz que, quando multiplicamos por , dá o mesmo resultado que multiplicamos por . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre equações matriciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as matrizes que a gente tem:
E queremos encontrar uma matriz de tamanho que satisfaça a equação:
Passo 3
Vamos chamar a matriz de:
Agora, vamos calcular os produtos e separadamente.
Passo 4
Calculando :
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculando :
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos e :
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeira Equação:
Terceira Equação:
Observamos que as equações (1) e (2) são iguais, então não há conflito.
Segunda Equação:
Quarta Equação:
Novamente, as equações (3) e (4) são iguais.
Passo 8
Das equações acima, vimos que:
Isso significa que podemos escolher e livremente, e os outros elementos de serão determinados por essas escolhas.
Então, a matriz fica assim:
Resposta
Sim, existe uma matriz que satisfaz . Essa matriz pode ser escrita como: