Dadas as matrizes
e
, responda aos seguintes itens:
(a) Existe uma matriz
tal que
?
(a) Existe uma matriz
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes,
e
, e queremos descobrir se existe uma matriz
que, quando multiplicamos
por
, dá o mesmo resultado que multiplicamos
por
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre equações matriciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as matrizes que a gente tem:
E queremos encontrar uma matriz
de tamanho
que satisfaça a equação:
Passo 3
Vamos chamar a matriz
de:
Agora, vamos calcular os produtos
e
separadamente.
Passo 4
Calculando
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, calculando
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, igualamos
e
:
Isso nos dá um sistema de equações:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeira Equação:
Terceira Equação:
Observamos que as equações (1) e (2) são iguais, então não há conflito.
Segunda Equação:
Quarta Equação:
Novamente, as equações (3) e (4) são iguais.
Passo 8
Das equações acima, vimos que:
Isso significa que podemos escolher
e
livremente, e os outros elementos de
serão determinados por essas escolhas.
Então, a matriz
fica assim:
Resposta
Sim, existe uma matriz
que satisfaz
. Essa matriz pode ser escrita como:
onde
e
são números reais quaisquer.