X=[llllx1 & x2 & x3 & x4]^T e B=[llllb1 & b2 & b3 & b4]^T.
Encontre todos os valores reais de a e b tais que o sistema A X=B tenha uma única solução.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear representado pela matriz e os vetores e . Queremos encontrar todos os valores reais de e para os quais o sistema tem uma única solução. Para resolver isso, vamos precisar do conceito de determinante de uma matriz e das condições para que um sistema linear tenha solução única.
Passo 2
Para que o sistema tenha uma única solução, a matriz precisa ser invertível. Uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Portanto, nosso objetivo é calcular o determinante da matriz e encontrar os valores de e que fazem com que esse determinante seja diferente de zero.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz A = a & 1 & b & 1 b & 1 & a & 0 0 & 2 & 0 & 0 -a & 2 & b & 1 :
Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace. Vamos simplificar o cálculo observando que a terceira linha tem dois zeros, o que facilita a expansão pelo cofator.
Voltando ao determinante de det(A) = 2 cdot C32 = 2 cdot (-2a^2) = -4a^2 :
Passo 8
Para que a matriz -4a^2 neq 0 seja invertível e, consequentemente, o sistema a^2 neq 0 Rightarrow a neq 0 tenha uma única solução, precisamos que o determinante de seja diferente de zero:
Isso implica que:
Não há restrições sobre nesse cálculo, já que não aparece no determinante final.
Resposta
Os valores reais de a neq 0 e b in R e que garantem que o sistema tenha uma única solução são todos os números onde é diferente de zero. Ou seja,