Considere as matrizes
A=[llll a & 1 & b & 1 b & 1 & a & 0 0 & 2 & 0 & 0 -a & 2 & b & 1 ]
X=[llllx1 & x2 & x3 & x4]^T e B=[llllb1 & b2 & b3 & b4]^T.
Encontre todos os valores reais de a e b tais que o sistema A X=B tenha uma única solução.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema linear representado pela matriz e os vetores e . Queremos encontrar todos os valores reais de e para os quais o sistema tem uma única solução. Para resolver isso, vamos precisar do conceito de determinante de uma matriz e das condições para que um sistema linear tenha solução única.

Passo 2

Para que o sistema tenha uma única solução, a matriz precisa ser invertível. Uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Portanto, nosso objetivo é calcular o determinante da matriz e encontrar os valores de e que fazem com que esse determinante seja diferente de zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A = a & 1 & b & 1 b & 1 & a & 0 0 & 2 & 0 & 0 -a & 2 & b & 1 :
Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão de Laplace. Vamos simplificar o cálculo observando que a terceira linha tem dois zeros, o que facilita a expansão pelo cofator.

Passo 4

Expansão pelo cofator na terceira linha:
det(A) = 0 cdot C31 + 2 cdot C32 + 0 cdot C33 + 0 cdot C34
Como apenas o segundo termo não é zero, temos:
det(A) = 2 cdot C32
Onde é o cofator correspondente ao elemento na posição (3,2).

Passo 5

Agora, calculamos o cofator C32 = (-1)^3+2 cdot det(M32) . O cofator é dado por:
M32 = a & b & 1 b & a & 0 -a & b & 1
Onde C32 = -det(M32) é a matriz menor obtida removendo a terceira linha e a segunda coluna:
Então:

Passo 6

Vamos calcular o determinante de det(M32) = a cdot (a cdot 1 - 0 cdot b) - b cdot (b cdot 1 - 0 cdot (-a)) + 1 cdot (b cdot b - a cdot (-a)) :
det(M32) = a(a) - b(b) + 1(b^2 + a^2) = a^2 - b^2 + b^2 + a^2 = 2a^2
Simplificando:
C32 = -2a^2
Portanto:

Passo 7

Voltando ao determinante de det(A) = 2 cdot C32 = 2 cdot (-2a^2) = -4a^2 :

Passo 8

Para que a matriz -4a^2 neq 0 seja invertível e, consequentemente, o sistema a^2 neq 0 Rightarrow a neq 0 tenha uma única solução, precisamos que o determinante de seja diferente de zero:
Isso implica que:
Não há restrições sobre nesse cálculo, já que não aparece no determinante final.

Resposta

Os valores reais de a neq 0 e b in R e que garantem que o sistema tenha uma única solução são todos os números onde é diferente de zero. Ou seja,

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