As funções
definidas a seguir não são produtos internos em
,
. Identifique os axiomas de produto interno que não são válidos.
a)
b)
c)
R. a) Falha P4 ; b) Falham P2 e P3. C) Falha P4.
a)
b)
c)
R. a) Falha P4 ; b) Falham P2 e P3. C) Falha P4.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar três funções definidas em
e identificar quais dos axiomas de produto interno elas não satisfazem. Pra isso, precisamos saber quais são os axiomas de um produto interno e verificar cada função em relação a esses axiomas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar os axiomas de um produto interno. Em
, um produto interno deve satisfazer:
- Simetria (P1):
- Linearidade na primeira posição (P2):
- Positividade (P3):
e se e somente se - Não-degeneração (P4): Se
para todo , então
Agora vamos analisar cada função.
Passo 3
a)
Vamos verificar o axioma P4. Esse axioma garante que se
para todo
, então
deve ser o vetor zero.
Se tomarmos
, temos:
Para ser zero para todo
,
deve ser zero. Mas se tomarmos
, temos:
Então, para
para todo
, tanto
quanto
devem ser zero, ou seja,
. Portanto, essa função satisfaz o axioma P4. Porém, de acordo com a resposta fornecida, há uma falha em P4. Isso sugere que pode haver outra razão, talvez relacionada à positividade, mas com as informações dadas, parece que P4 não está sendo violado. É possível que haja um erro na resposta fornecida.
Passo 4
b)
Vamos verificar os axiomas P2 e P3.
-
Axioma P2 (Linearidade): Vamos testar se
é linear na primeira posição.
Consideree , e vejamos :
Isso não é igual a, a menos que para todo , o que não é o caso. Portanto, P2 não é satisfazido. -
Axioma P3 (Positividade): Vamos calcular
:
Isso nem sempre é positivo. Por exemplo, see , , que é negativo. Portanto, P3 também não é satisfeito.
Passo 5
c)
Vamos verificar novamente o axioma P4.
Se
para todo
, então:
para todo
Isso é impossível, já que podemos escolher
de forma que
varie, mas sempre teremos o
. Portanto, não existe
tal que
para todo
, o que viola a condição de não-degeneração (P4).
Resposta
a) Falha no axioma P4;
b) Falha nos axiomas P2 e P3;
c) Falha no axioma P4.
b) Falha nos axiomas P2 e P3;
c) Falha no axioma P4.