Mostrar que se u e v são vetores de um espaço vetorial munido de produto interno, então:
a) u perp v implica |u+v|^2=|u|^2+|v|^2 (interpretar geometricamente o fato no R^2 e R^3 )
b) (u+v) perp(u-v) implica |u|=|v|

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um problema sobre vetores em espaços com produto interno. Especificamente, queremos provar duas coisas:
a) Se dois vetores e são perpendiculares (ou seja, ), então a magnitude de ao quadrado é igual à soma das magnitudes de e ao quadrado: . Além disso, precisamos interpretar isso geometricamente no plano ( ) e no espaço ( ).
b) Se a soma é perpendicular à diferença (ou seja, ), então as magnitudes de e são iguais: .
Para resolver isso, vamos usar propriedades de vetores e produto interno, lembrando que o produto interno nos dá uma forma de medir ângulos e comprimentos.

Passo 2

Vamos começar com a parte a). Sabemos que dois vetores são perpendiculares se o produto interno deles é zero. Ou seja, significa que .
Queremos mostrar que .

Passo 3

Vamos expandir |u + v|^2 = (u + v) cdot (u + v) . A magnitude de um vetor ao quadrado é igual ao produto interno dele consigo mesmo:

Passo 4

Aplicando a distributividade do produto interno:
(u + v) cdot (u + v) = u cdot u + u cdot v + v cdot u + v cdot v
Sabemos que o produto interno é comutativo, então . E como , temos .

Passo 5

Substituindo u cdot u + 0 + 0 + v cdot v = |u|^2 + |v|^2 :
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos interpretar geometricamente isso no e .
No e , se e são perpendiculares, o triângulo formado por , e é um triângulo retângulo. O teorema de Pitágoras nos diz que o quadrado da hipotenusa ( ) é igual à soma dos quadrados dos catetos ( ).

Passo 7

Agora vamos para a parte b). Queremos mostrar que se , então .

Passo 8

Sabemos que (u + v) cdot (u - v) = 0 significa que o produto interno entre e é zero:

Passo 9

Expandindo o produto interno:
u cdot u - u cdot v + v cdot u - v cdot v = 0
Como |u|^2 - |v|^2 = 0 , podemos simplificar:

Passo 10

Isolando os termos:
|u|^2 = |v|^2
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
|u| = |v|

Resposta

a) Se , então . Geometricamente, no e , isso representa um triângulo retângulo onde o comprimento da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.
b) Se , então .

Exercícios relacionados