Mostrar que se u e v são vetores de um espaço vetorial munido de produto interno, então:
a)
implica
(interpretar geometricamente o fato no
)
b)
implica
a)
b)
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um problema sobre vetores em espaços com produto interno. Especificamente, queremos provar duas coisas:
a) Se dois vetores
e
são perpendiculares (ou seja,
), então a magnitude de
ao quadrado é igual à soma das magnitudes de
e
ao quadrado:
. Além disso, precisamos interpretar isso geometricamente no plano (
) e no espaço (
).
b) Se a soma
é perpendicular à diferença
(ou seja,
), então as magnitudes de
e
são iguais:
.
Para resolver isso, vamos usar propriedades de vetores e produto interno, lembrando que o produto interno nos dá uma forma de medir ângulos e comprimentos.
Passo 2
Vamos começar com a parte a). Sabemos que dois vetores são perpendiculares se o produto interno deles é zero. Ou seja,
significa que
.
Queremos mostrar que
.
Passo 3
Vamos expandir
. A magnitude de um vetor ao quadrado é igual ao produto interno dele consigo mesmo:
Passo 4
Aplicando a distributividade do produto interno:
Sabemos que o produto interno é comutativo, então
. E como
, temos
.
Passo 5
Substituindo
:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos interpretar geometricamente isso no
e
.
No
e
, se
e
são perpendiculares, o triângulo formado por
,
e
é um triângulo retângulo. O teorema de Pitágoras nos diz que o quadrado da hipotenusa (
) é igual à soma dos quadrados dos catetos (
).
Passo 7
Agora vamos para a parte b). Queremos mostrar que se
, então
.
Passo 8
Sabemos que
significa que o produto interno entre
e
é zero:
Passo 9
Expandindo o produto interno:
Como
, podemos simplificar:
Passo 10
Isolando os termos:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
a) Se
, então
. Geometricamente, no
e
, isso representa um triângulo retângulo onde o comprimento da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.
b) Se
, então
.