Determinar os vetores (a,b,c) para que o conjunto (1,-3,2),(2,2,2),(a, b, c) seja uma base ortogonal do R^3 em relação ao produto interno usual. Construir a partir de B uma base ortonormal.
Respostas: t(-5,1,4), t não nulo
(1raiz14,-3raiz14, 2raiz14),(1raiz3, 1raiz3, 1raiz3),(-5raiz42, 1raiz42, 442)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar os vetores de forma que o conjunto forme uma base ortogonal no espaço em relação ao produto interno usual. Depois, queremos transformar essa base ortogonal em uma base ortonormal. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto interno, ortogonalidade e normalização de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma base ser ortogonal. Em um conjunto de vetores ortogonais, cada par de vetores é perpendicular, ou seja, seu produto interno é zero. Então, para garantir que (1, -3, 2) cdot (a, b, c) = 0 seja uma base ortogonal, precisamos que:
(2, 2, 2) cdot (a, b, c) = 0

Passo 3

Vamos calcular esses produtos internos:
1 cdot a + (-3) cdot b + 2 cdot c = 0 Rightarrow a - 3b + 2c = 0 (Equação 1) çã
2 cdot a + 2 cdot b + 2 cdot c = 0 Rightarrow 2a + 2b + 2c = 0 Rightarrow a + b + c = 0 (Dividindo por 2)

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações:
a - 3b + 2c = 0 (Equação 1) a + b + c = 0 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar , e .

Passo 5

Podemos resolver pela eliminação. Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
(a - 3b + 2c) - (a + b + c) = 0 - 0 Rightarrow -4b + c = 0 Rightarrow c = 4b

Passo 6

Substituindo a + b + 4b = 0 Rightarrow a + 5b = 0 Rightarrow a = -5b na Equação 2:

Passo 7

Então, os vetores (a, b, c) = (-5b, b, 4b) = b cdot (-5, 1, 4) que satisfazem as condições são da forma:
(a, b, c) = t cdot (-5, 1, 4)
Podemos fatorar como uma constante , onde , então:

Passo 8

Agora, para construir uma base ortonormal a partir da base ortogonal | (x, y, z) | = raizx^2 + y^2 + z^2 , precisamos normalizar cada vetor, ou seja, dividir cada vetor pelo seu comprimento (norma).
A norma de um vetor é dada por:

Passo 9

Calculando as normas:
  1. Para | (1, -3, 2) | = raiz1^2 + (-3)^2 + 2^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14 :
| (2, 2, 2) | = raiz2^2 + 2^2 + 2^2 = raiz4 + 4 + 4 = raiz12 = 2raiz3
  1. Para | (-5, 1, 4) | = raiz(-5)^2 + 1^2 + 4^2 = raiz25 + 1 + 16 = raiz42 :
  1. Para :

Passo 10

Finalmente, normalizando cada vetor:

Resposta

Os vetores (1raiz14, -3raiz14, 2raiz14), (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3), (-5raiz42, 1raiz42, 4raiz42) que tornam o conjunto uma base ortogonal são , onde é um número real não nulo. A base ortonormal construída a partir de é:

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