Determinar os vetores (a,b,c) para que o conjunto
seja uma base ortogonal do
em relação ao produto interno usual. Construir a partir de B uma base ortonormal.
Respostas:
, t não nulo
Respostas:
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar os vetores
de forma que o conjunto
forme uma base ortogonal no espaço
em relação ao produto interno usual. Depois, queremos transformar essa base ortogonal em uma base ortonormal. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto interno, ortogonalidade e normalização de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma base ser ortogonal. Em um conjunto de vetores ortogonais, cada par de vetores é perpendicular, ou seja, seu produto interno é zero. Então, para garantir que
seja uma base ortogonal, precisamos que:
Passo 3
Vamos calcular esses produtos internos:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
,
e
.
Passo 5
Podemos resolver pela eliminação. Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:
Passo 6
Substituindo
na Equação 2:
Passo 7
Então, os vetores
que satisfazem as condições são da forma:
Podemos fatorar
como uma constante
, onde
, então:
Passo 8
Agora, para construir uma base ortonormal a partir da base ortogonal
, precisamos normalizar cada vetor, ou seja, dividir cada vetor pelo seu comprimento (norma).
A norma de um vetor
é dada por:
Passo 9
Calculando as normas:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 10
Finalmente, normalizando cada vetor:
Resposta
Os vetores
que tornam o conjunto uma base ortogonal são
, onde
é um número real não nulo. A base ortonormal construída a partir de
é: