Considere as matrizes e e use um software matemático para verificar a validade das seguintes propriedades: (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar uma propriedade envolvendo a inversa de matrizes. Estamos trabalhando com matrizes inversas em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar calcular a inversa da matriz e depois a inversa dessa inversa, para ver se realmente é igual a .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz inversa. Se temos uma matriz quadrada , sua inversa, denotada por , é a matriz que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Ou seja:
Isso só é possível se for invertível, ou seja, se seu determinante for diferente de zero.
Passo 3
Vamos calcular a inversa da matriz . A matriz é:
Primeiro, calculamos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, é invertível. A fórmula para a inversa de uma matriz é:
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos calcular a inversa de , ou seja, . De forma teórica, sabemos que a inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz original:
Mas vamos verificar isso calculando.
Primeiro, temos:
Para encontrar , aplicamos a mesma fórmula da inversa:
Calculamos o determinante de :
Aplicamos a fórmula da inversa:
Resposta
Vimos que é igual a . Portanto, a propriedade é válida para a matriz apresentada.