Considere as matrizes
e
e use um software matemático para verificar a validade das seguintes propriedades: (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar uma propriedade envolvendo a inversa de matrizes. Estamos trabalhando com matrizes inversas em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar calcular a inversa da matriz
e depois a inversa dessa inversa, para ver se realmente é igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz inversa. Se temos uma matriz quadrada
, sua inversa, denotada por
, é a matriz que, quando multiplicada por
, resulta na matriz identidade. Ou seja:
Isso só é possível se
for invertível, ou seja, se seu determinante for diferente de zero.
Passo 3
Vamos calcular a inversa da matriz
. A matriz
é:
Primeiro, calculamos o determinante de
:
Como o determinante é diferente de zero,
é invertível. A fórmula para a inversa de uma matriz
é:
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos calcular a inversa de
, ou seja,
. De forma teórica, sabemos que a inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz original:
Mas vamos verificar isso calculando.
Primeiro, temos:
Para encontrar
, aplicamos a mesma fórmula da inversa:
- Calculamos o determinante de
:
- Aplicamos a fórmula da inversa:
Resposta
Vimos que
é igual a
. Portanto, a propriedade
é válida para a matriz
apresentada.