Considere as matrizes e e use um software matemático para verificar a validade das seguintes propriedades: (a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar uma propriedade envolvendo a inversa de matrizes. Estamos trabalhando com matrizes inversas em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar calcular a inversa da matriz e depois a inversa dessa inversa, para ver se realmente é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz inversa. Se temos uma matriz quadrada , sua inversa, denotada por , é a matriz que, quando multiplicada por , resulta na matriz identidade. Ou seja:
Isso só é possível se for invertível, ou seja, se seu determinante for diferente de zero.

Passo 3

Vamos calcular a inversa da matriz . A matriz é:
Primeiro, calculamos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, é invertível. A fórmula para a inversa de uma matriz é:
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular a inversa de , ou seja, . De forma teórica, sabemos que a inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz original:
Mas vamos verificar isso calculando.
Primeiro, temos:
Para encontrar , aplicamos a mesma fórmula da inversa:
  1. Calculamos o determinante de :
  1. Aplicamos a fórmula da inversa:

Resposta

Vimos que é igual a . Portanto, a propriedade é válida para a matriz apresentada.

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, se tivermos um sistema linear com três equações, quais seriam as possibilidades de interpretações geométricas para este sistema e qual seria a consequência na resolução do sistema para cada possibilidade?
Se uma matriz é inversível, então aplicando a eliminação de Gauss na matriz encontraremos , onde é a matriz identidade. Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
(a)
(b)
©
Seja .
(a) Obtenha a forma escalonada de .
(b) é inversível? Justifique e caso seja inversível, determine .
Calcule o determinante das matrizes abaixo usando um método de sua preferência. (a)