Considere as matrizes A=[rr2 & 1 -1 & 3] e B=[rr1 & -3 0 & 4] e use um software matemático para verificar a validade das seguintes propriedades: (a) (A^-1)^-1=A

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar uma propriedade envolvendo a inversa de matrizes. Estamos trabalhando com matrizes inversas em álgebra linear. Para resolver, vamos precisar calcular a inversa da matriz A e depois a inversa dessa inversa, para ver se realmente é igual a A.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz inversa. Se temos uma matriz quadrada A, sua inversa, denotada por A^-1, é a matriz que, quando multiplicada por A, resulta na matriz identidade. Ou seja:
A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I
Isso só é possível se A for invertível, ou seja, se seu determinante for diferente de zero.

Passo 3

Vamos calcular a inversa da matriz A. A matriz A é:
A = 2 & 1 -1 & 3
Primeiro, calculamos o determinante de A:
det(A) = (2)(3) - (1)(-1) = 6 + 1 = 7
Como o determinante é diferente de zero, A é invertível. A fórmula para a inversa de uma matriz 2 times 2 é:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Aplicando isso:
A^-1 = 17 3 & -1 1 & 2

Passo 4

Agora, vamos calcular a inversa de A^-1, ou seja, (A^-1)^-1. De forma teórica, sabemos que a inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz original:
(A^-1)^-1 = A
Mas vamos verificar isso calculando.
Primeiro, temos:
A^-1 = 17 3 & -1 1 & 2
Para encontrar (A^-1)^-1, aplicamos a mesma fórmula da inversa:
  1. Calculamos o determinante de A^-1:
det(A^-1) = (37)(27) - (-17)(17) = 649 + 149 = 749 = 17
  1. Aplicamos a fórmula da inversa:
(A^-1)^-1 = 117 27 & 17 -17 & 37 = 7 27 & 17 -17 & 37 = 2 & 1 -1 & 3

Resposta

Vimos que (A^-1)^-1 é igual a A. Portanto, a propriedade (A^-1)^-1 = A é válida para a matriz A apresentada.

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