, se tivermos um sistema linear com três equações, quais seriam as possibilidades de interpretações geométricas para este sistema e qual seria a consequência na resolução do sistema para cada possibilidade?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema linear com três equações no espaço tridimensional, ou seja, em . O que isso significa geométricamente? Vamos explorar as possíveis interpretações desses três planos e ver o que cada situação implica na solução do sistema.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que cada equação linear em representa um plano. Então, nosso sistema de três equações está nos dando três planos no espaço. A interação entre esses planos vai determinar o tipo de solução que o sistema terá.

Passo 3

Agora, vamos ver as possíveis situações geométricas:
  1. Interseção em um único ponto: Se os três planos se cortam em um único ponto, isso significa que existe uma única solução para o sistema. Geometricamente, é como se os três planos se encontrassem exatamente em um ponto comum.
  2. Interseção em uma linha: Se os três planos se intersectam ao longo de uma mesma linha, então há infinitas soluções, pois qualquer ponto dessa linha satisfaz as três equações.
  3. Sem interseção comum: Pode acontecer de os planos não terem um ponto ou uma linha comum de interseção. Isso pode ocorrer de duas maneiras:
    • Dois planos são paralelos e o terceiro corta um deles.
    • Os três planos são paralelos entre si ou não se encontram em um único ponto ou linha.
  4. Planos coincidentes: Se os três planos são, na verdade, o mesmo plano (coincidem), então há infinitas soluções, já que qualquer ponto nesse plano resolve o sistema.

Passo 4

Cada uma dessas situações tem uma consequência diferente na resolução do sistema:
  1. Interseção em um único ponto: O sistema é compatível e determinado. Há uma única solução para as três equações.
  2. Interseção em uma linha: O sistema é compatível e indeterminado. Há infinitas soluções que formam uma linha.
  3. Sem interseção comum:
    • Se dois planos são paralelos e distintos, e o terceiro não está neste grupo de paralelismo, o sistema é incompatível; ou seja, não há solução.
    • Se os três planos são paralelos ou não se intersectam de maneira que um ponto satisfaça todas as três equações, o sistema também é incompatível.
  4. Planos coincidentes: O sistema é compatível e indeterminado, com infinitas soluções já que todos os pontos do plano satisfazem as três equações.

Resposta

Em , um sistema linear com três equações pode ter as seguintes interpretações geométricas:
  1. Interseção em um único ponto: Sistema compatível e determinado (uma única solução).
  2. Interseção ao longo de uma linha: Sistema compatível e indeterminado (infinitas soluções).
  3. Sem interseção comum: Sistema incompatível (nenhuma solução).
  4. Planos coincidentes: Sistema compatível e indeterminado (infinitas soluções).
Essas interpretações determinam se o sistema possui uma única solução, múltiplas soluções ou nenhuma solução.

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Se uma matriz é inversível, então aplicando a eliminação de Gauss na matriz encontraremos , onde é a matriz identidade. Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan:
(a)
(b)
©
Resolva os sistemas lineares abaixo usando eliminação de GaussJordan: (e)
Considere as matrizes e e use um software matemático para verificar a validade das seguintes propriedades: (a)
Seja .
(a) Obtenha a forma escalonada de .
(b) é inversível? Justifique e caso seja inversível, determine .