, se tivermos um sistema linear com três equações, quais seriam as possibilidades de interpretações geométricas para este sistema e qual seria a consequência na resolução do sistema para cada possibilidade?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um sistema linear com três equações no espaço tridimensional, ou seja, em . O que isso significa geométricamente? Vamos explorar as possíveis interpretações desses três planos e ver o que cada situação implica na solução do sistema.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que cada equação linear em representa um plano. Então, nosso sistema de três equações está nos dando três planos no espaço. A interação entre esses planos vai determinar o tipo de solução que o sistema terá.
Passo 3
Agora, vamos ver as possíveis situações geométricas:
Interseção em um único ponto: Se os três planos se cortam em um único ponto, isso significa que existe uma única solução para o sistema. Geometricamente, é como se os três planos se encontrassem exatamente em um ponto comum.
Interseção em uma linha: Se os três planos se intersectam ao longo de uma mesma linha, então há infinitas soluções, pois qualquer ponto dessa linha satisfaz as três equações.
Sem interseção comum: Pode acontecer de os planos não terem um ponto ou uma linha comum de interseção. Isso pode ocorrer de duas maneiras:
Dois planos são paralelos e o terceiro corta um deles.
Os três planos são paralelos entre si ou não se encontram em um único ponto ou linha.
Planos coincidentes: Se os três planos são, na verdade, o mesmo plano (coincidem), então há infinitas soluções, já que qualquer ponto nesse plano resolve o sistema.
Passo 4
Cada uma dessas situações tem uma consequência diferente na resolução do sistema:
Interseção em um único ponto: O sistema é compatível e determinado. Há uma única solução para as três equações.
Interseção em uma linha: O sistema é compatível e indeterminado. Há infinitas soluções que formam uma linha.
Sem interseção comum:
Se dois planos são paralelos e distintos, e o terceiro não está neste grupo de paralelismo, o sistema é incompatível; ou seja, não há solução.
Se os três planos são paralelos ou não se intersectam de maneira que um ponto satisfaça todas as três equações, o sistema também é incompatível.
Planos coincidentes: O sistema é compatível e indeterminado, com infinitas soluções já que todos os pontos do plano satisfazem as três equações.
Resposta
Em , um sistema linear com três equações pode ter as seguintes interpretações geométricas:
Interseção em um único ponto: Sistema compatível e determinado (uma única solução).
Interseção ao longo de uma linha: Sistema compatível e indeterminado (infinitas soluções).
Sem interseção comum: Sistema incompatível (nenhuma solução).
Planos coincidentes: Sistema compatível e indeterminado (infinitas soluções).
Essas interpretações determinam se o sistema possui uma única solução, múltiplas soluções ou nenhuma solução.