Seja .
(a) Obtenha a forma escalonada de .
(b) é inversível? Justifique e caso seja inversível, determine .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz . O exercício está dividido em duas partes:
(a) Encontrar a forma escalonada de .
(b) Verificar se é inversível. Se for, encontrar .
Vamos precisar entender como transformar uma matriz para a forma escalonada usando operações de linha e também saber como determinar a inversibilidade de uma matriz e, se possível, calcular sua inversa.

Passo 2

Parte (a): Obtendo a forma escalonada de .
Primeiro, vamos lembrar que a forma escalonada de uma matriz é uma versão simplificada onde cada linha começa com um 1 (chamado de “pivô”) que está à direita do pivô da linha anterior, e todas as entradas abaixo dos pivôs são zeros.
Nossa matriz inicial é:
Passo 2.1: Vamos começar deixando o primeiro elemento da primeira linha como 1. Para isso, podemos dividir toda a primeira linha por 2.
Passo 2.2: Agora, queremos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, vamos adicionar a primeira linha à segunda linha.
Agora, a matriz está na forma escalonada.

Passo 3

Parte (b): Verificando se é inversível e, se for, encontrando .
Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de .
Para uma matriz :
onde .
Para nossa matriz:
Então,
Como o determinante é 7 (diferente de zero), é inversível.
Agora, para encontrar , usamos a fórmula para matrizes :
Substituindo os valores:

Resposta

(a) A forma escalonada de é .
(b) A matriz é inversível e a sua inversa é .

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Considere as matrizes e e use um software matemático para verificar a validade das seguintes propriedades: (a)
, se tivermos um sistema linear com três equações, quais seriam as possibilidades de interpretações geométricas para este sistema e qual seria a consequência na resolução do sistema para cada possibilidade?
Calcule o determinante das matrizes abaixo usando um método de sua preferência. (a)