Seja
.
(a) Obtenha a forma escalonada de
.
(b)
é inversível? Justifique e caso seja inversível, determine
.
(a) Obtenha a forma escalonada de
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma matriz
. O exercício está dividido em duas partes:
(a) Encontrar a forma escalonada de
.
(b) Verificar se
é inversível. Se for, encontrar
.
Vamos precisar entender como transformar uma matriz para a forma escalonada usando operações de linha e também saber como determinar a inversibilidade de uma matriz e, se possível, calcular sua inversa.
Passo 2
Parte (a): Obtendo a forma escalonada de
.
Primeiro, vamos lembrar que a forma escalonada de uma matriz é uma versão simplificada onde cada linha começa com um 1 (chamado de “pivô”) que está à direita do pivô da linha anterior, e todas as entradas abaixo dos pivôs são zeros.
Nossa matriz inicial é:
Passo 2.1: Vamos começar deixando o primeiro elemento da primeira linha como 1. Para isso, podemos dividir toda a primeira linha por 2.
Passo 2.2: Agora, queremos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, vamos adicionar a primeira linha à segunda linha.
Agora, a matriz está na forma escalonada.
Passo 3
Parte (b): Verificando se
é inversível e, se for, encontrando
.
Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de
.
Para uma matriz
:
onde
.
Para nossa matriz:
Então,
Como o determinante é 7 (diferente de zero),
é inversível.
Agora, para encontrar
, usamos a fórmula para matrizes
:
Substituindo os valores:
Resposta
(a) A forma escalonada de
é
.
(b) A matriz
é inversível e a sua inversa é
.
Exercícios relacionados
Considere as matrizes
e
e use um software matemático para verificar a validade das seguintes propriedades: (a)
Calcule o determinante das matrizes abaixo usando um método de sua preferência. (a)