Seja A=(cc2 & 1 -1 & 3).
(a) Obtenha a forma escalonada de A.
(b) A é inversível? Justifique e caso seja inversível, determine A^-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma matriz 2 & 1 -1 & 3 . O exercício está dividido em duas partes:
(a) Encontrar a forma escalonada de .
(b) Verificar se é inversível. Se for, encontrar .
Vamos precisar entender como transformar uma matriz para a forma escalonada usando operações de linha e também saber como determinar a inversibilidade de uma matriz e, se possível, calcular sua inversa.

Passo 2

Parte (a): Obtendo a forma escalonada de A = 2 & 1 -1 & 3 .
Primeiro, vamos lembrar que a forma escalonada de uma matriz é uma versão simplificada onde cada linha começa com um 1 (chamado de “pivô”) que está à direita do pivô da linha anterior, e todas as entradas abaixo dos pivôs são zeros.
Nossa matriz inicial é:
2 & 1 -1 & 3 1 & 0.5 -1 & 3
Passo 2.1: Vamos começar deixando o primeiro elemento da primeira linha como 1. Para isso, podemos dividir toda a primeira linha por 2.
1 & 0.5 -1 & 3 + 1 & 0.5 0 & 0 = 1 & 0.5 0 & 3.5
Passo 2.2: Agora, queremos zerar o elemento abaixo do pivô na primeira coluna. Para isso, vamos adicionar a primeira linha à segunda linha.
Agora, a matriz está na forma escalonada.

Passo 3

Parte (b): Verificando se det(A) = ad - bc é inversível e, se for, encontrando a & b c & d .
Uma matriz é inversível se o seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de a = 2, b = 1, c = -1, d = 3 .
Para uma matriz det(A) = (2)(3) - (1)(-1) = 6 + 1 = 7 :
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
onde A^-1 = 17 3 & -1 1 & 2 = 37 & -17 17 & 27 .
Para nossa matriz:
Então,
Como o determinante é 7 (diferente de zero), é inversível.
Agora, para encontrar , usamos a fórmula para matrizes :
Substituindo os valores:

Resposta

(a) A forma escalonada de 1 & 0.5 0 & 3.5 é 37 & -17 17 & 27 .
(b) A matriz é inversível e a sua inversa é .

Exercícios relacionados