Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes, e , e precisamos verificar se algumas propriedades envolvendo inversas e transpostas dessas matrizes são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra matricial como inversa de matriz, transposta e multiplicação de matrizes. Vamos precisar calcular as inversas, transpostas e multiplicar as matrizes para conferir se as igualdades são válidas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a propriedade (a): . Basicamente, isso diz que a inversa da inversa de é a própria matriz . Vamos encontrar e depois calcular a inversa dessa inversa para ver se realmente volta para .
Passo 3
Para encontrar a inversa de , usamos a fórmula para matrizes 2x2:
onde . Calculando o determinante de :
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular . Usando a mesma fórmula:
Mas sabemos que , então:
Então, a propriedade (a) está válida.
Passo 5
Agora, vamos para a propriedade (b): . Isso significa que a inversa da transposta de é igual à transposta da inversa de . Primeiro, vamos calcular e , e depois verificar essa igualdade.
Passo 6
Calculando a transposta de :
Agora, vamos encontrar . Primeiro, o determinante de :
Então,
Agora, a transposta de :
Enquanto a inversa de :
Observamos que , então a propriedade (b) também é válida.