Considere as matrizes
e
e use um software matemático para verificar a validade das seguintes propriedades:
(a)
(b)
©
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes,
e
, e precisamos verificar se algumas propriedades envolvendo inversas e transpostas dessas matrizes são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra matricial como inversa de matriz, transposta e multiplicação de matrizes. Vamos precisar calcular as inversas, transpostas e multiplicar as matrizes para conferir se as igualdades são válidas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a propriedade (a):
. Basicamente, isso diz que a inversa da inversa de
é a própria matriz
. Vamos encontrar
e depois calcular a inversa dessa inversa para ver se realmente volta para
.
Passo 3
Para encontrar a inversa de
, usamos a fórmula para matrizes 2x2:
onde
. Calculando o determinante de
:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Usando a mesma fórmula:
Mas sabemos que
, então:
Então, a propriedade (a) está válida.
Passo 5
Agora, vamos para a propriedade (b):
. Isso significa que a inversa da transposta de
é igual à transposta da inversa de
. Primeiro, vamos calcular
e
, e depois verificar essa igualdade.
Passo 6
Calculando a transposta de
:
Agora, vamos encontrar
. Primeiro, o determinante de
:
Então,
Agora, a transposta de
:
Enquanto a inversa de
:
Observamos que
, então a propriedade (b) também é válida.
Passo 7
Finalmente, vamos verificar a propriedade ©:
. Isso diz que a inversa do produto de
e
é igual ao produto das inversas de
e
na ordem inversa. Vamos calcular
, depois
e comparar com
.
Passo 8
Primeiro, multiplicamos
por
:
Agora, calculando
:
Então,
Agora, calculamos
:
Vemos que
, então a propriedade © também é válida.
Resposta
Todas as propriedades (a), (b) e © são válidas para as matrizes
e
dadas.