Considere as matrizes e e use um software matemático para verificar a validade das seguintes propriedades:
(a)
(b)
©

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes, e , e precisamos verificar se algumas propriedades envolvendo inversas e transpostas dessas matrizes são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra matricial como inversa de matriz, transposta e multiplicação de matrizes. Vamos precisar calcular as inversas, transpostas e multiplicar as matrizes para conferir se as igualdades são válidas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a propriedade (a): . Basicamente, isso diz que a inversa da inversa de é a própria matriz . Vamos encontrar e depois calcular a inversa dessa inversa para ver se realmente volta para .

Passo 3

Para encontrar a inversa de , usamos a fórmula para matrizes 2x2:
onde . Calculando o determinante de :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular . Usando a mesma fórmula:
Mas sabemos que , então:
Então, a propriedade (a) está válida.

Passo 5

Agora, vamos para a propriedade (b): . Isso significa que a inversa da transposta de é igual à transposta da inversa de . Primeiro, vamos calcular e , e depois verificar essa igualdade.

Passo 6

Calculando a transposta de :
Agora, vamos encontrar . Primeiro, o determinante de :
Então,
Agora, a transposta de :
Enquanto a inversa de :
Observamos que , então a propriedade (b) também é válida.

Passo 7

Finalmente, vamos verificar a propriedade ©: . Isso diz que a inversa do produto de e é igual ao produto das inversas de e na ordem inversa. Vamos calcular , depois e comparar com .

Passo 8

Primeiro, multiplicamos por :
Agora, calculando :
Então,
Agora, calculamos :
Vemos que , então a propriedade © também é válida.

Resposta

Todas as propriedades (a), (b) e © são válidas para as matrizes e dadas.

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d) 8 .
Dadas as matrizes:
determine:
Determine a dimensão e uma base do espaço vetorial
Calcule os determinantes das matrizes abaixo sabendo que . (d)