Considere as matrizes A=[rr2 & 1 -1 & 3] e B=[rr1 & -3 0 & 4] e use um software matemático para verificar a validade das seguintes propriedades:
(a) (A^-1)^-1=A
(b) (B^T)^-1=(B^-1)^T
© (A B)^-1=B^-1 A^-1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas matrizes, e , e precisamos verificar se algumas propriedades envolvendo inversas e transpostas dessas matrizes são verdadeiras. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra matricial como inversa de matriz, transposta e multiplicação de matrizes. Vamos precisar calcular as inversas, transpostas e multiplicar as matrizes para conferir se as igualdades são válidas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a propriedade (a): . Basicamente, isso diz que a inversa da inversa de é a própria matriz . Vamos encontrar e depois calcular a inversa dessa inversa para ver se realmente volta para .

Passo 3

Para encontrar a inversa de A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a , usamos a fórmula para matrizes 2x2:
a & b c & d
onde det(A) = (2)(3) - (-1)(1) = 6 + 1 = 7 . Calculando o determinante de A^-1 = 17 3 & -1 1 & 2 :
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular (A^-1)^-1 = 1det(A^-1) 2 & 1 -1 & 3 . Usando a mesma fórmula:
(A^-1)^-1 = 7 cdot 17 2 & 1 -1 & 3 = 2 & 1 -1 & 3 = A
Mas sabemos que , então:
Então, a propriedade (a) está válida.

Passo 5

Agora, vamos para a propriedade (b): . Isso significa que a inversa da transposta de é igual à transposta da inversa de . Primeiro, vamos calcular e , e depois verificar essa igualdade.

Passo 6

Calculando a transposta de B^T = 1 & 0 -3 & 4 :
det(B) = (1)(4) - (-3)(0) = 4 + 0 = 4
Agora, vamos encontrar B^-1 = 14 4 & 3 0 & 1 . Primeiro, o determinante de (B^-1)^T = 14 4 & 0 3 & 1 :
(B^T)^-1 = 14 4 & 3 0 & 1
Então,
Agora, a transposta de :
Enquanto a inversa de :
Observamos que , então a propriedade (b) também é válida.

Passo 7

Finalmente, vamos verificar a propriedade ©: . Isso diz que a inversa do produto de e é igual ao produto das inversas de e na ordem inversa. Vamos calcular , depois e comparar com .

Passo 8

Primeiro, multiplicamos A B = 2 & 1 -1 & 3 1 & -3 0 & 4 = (2)(1) + (1)(0) & (2)(-3) + (1)(4) (-1)(1) + (3)(0) & (-1)(-3) + (3)(4) = 2 & -2 -1 & 15 por det(A B) = (2)(15) - (-1)(-2) = 30 - 2 = 28 :
(A B)^-1 = 128 15 & 2 1 & 2
Agora, calculando B^-1 A^-1 = 14 4 & 3 0 & 1 cdot 17 3 & -1 1 & 2 = 128 (4)(3) + (3)(1) & (4)(-1) + (3)(2) (0)(3) + (1)(1) & (0)(-1) + (1)(2) = 128 15 & 2 1 & 2 :
Então,
Agora, calculamos :
Vemos que , então a propriedade © também é válida.

Resposta

Todas as propriedades (a), (b) e © são válidas para as matrizes e dadas.

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