(UFRGS-2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo é negativa é
d) 8 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um número complexo na forma e precisamos encontrar o menor número inteiro positivo que faz a parte imaginária desse número ser negativa. Isso está ligado ao estudo de números complexos e, mais especificamente, à fórmula de De Moivre, que nos ajuda a trabalhar com potências de números complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de De Moivre, que diz que para qualquer número complexo na forma trigonométrica , sua potência é dada por:
Ou seja, ao elevar o número complexo a uma potência, apenas multiplicamos o ângulo por .
Passo 3
Aplicando a fórmula de De Moivre ao nosso número, temos:
A parte imaginária desse número é .
Passo 4
Queremos que a parte imaginária seja negativa:
Vamos pensar em onde a função seno é negativa no ciclo trigonométrico. O seno é negativo quando o ângulo está entre e radianos.
Passo 5
Então, temos que encontrar o menor inteiro positivo tal que:
Dividindo ambos os lados por :
Como precisa ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz essa desigualdade é .
Passo 6
No entanto, vamos verificar para e :
Para :
A parte imaginária é zero, não negativa.
Para :
Aqui, a parte imaginária é negativa.
Resposta
O menor número inteiro positivo para o qual a parte imaginária é negativa é .