(UFRGS-2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo é negativa é
d) 8 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um número complexo na forma e precisamos encontrar o menor número inteiro positivo que faz a parte imaginária desse número ser negativa. Isso está ligado ao estudo de números complexos e, mais especificamente, à fórmula de De Moivre, que nos ajuda a trabalhar com potências de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de De Moivre, que diz que para qualquer número complexo na forma trigonométrica , sua potência é dada por:
Ou seja, ao elevar o número complexo a uma potência, apenas multiplicamos o ângulo por .

Passo 3

Aplicando a fórmula de De Moivre ao nosso número, temos:
A parte imaginária desse número é .

Passo 4

Queremos que a parte imaginária seja negativa:
Vamos pensar em onde a função seno é negativa no ciclo trigonométrico. O seno é negativo quando o ângulo está entre e radianos.

Passo 5

Então, temos que encontrar o menor inteiro positivo tal que:
Dividindo ambos os lados por :
Como precisa ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz essa desigualdade é .

Passo 6

No entanto, vamos verificar para e :
  • Para :
A parte imaginária é zero, não negativa.
  • Para :
Aqui, a parte imaginária é negativa.

Resposta

O menor número inteiro positivo para o qual a parte imaginária é negativa é .

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Dadas as matrizes:
determine:
Determine a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas:
(a) ;
Considere as matrizes e e use um software matemático para verificar a validade das seguintes propriedades:
(a)
(b)
©
Determine a dimensão e uma base do espaço vetorial