(UFRGS-2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo (cos pi8+i cdot sen pi8)^n é negativa é
d) 8 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um número complexo na forma e precisamos encontrar o menor número inteiro positivo (cos pi8 + i cdot sen pi8)^n que faz a parte imaginária desse número ser negativa. Isso está ligado ao estudo de números complexos e, mais especificamente, à fórmula de De Moivre, que nos ajuda a trabalhar com potências de números complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de De Moivre, que diz que para qualquer número complexo na forma trigonométrica , sua potência cos theta + i sen theta é dada por:
Ou seja, ao elevar o número complexo a uma potência, apenas multiplicamos o ângulo n por (cos theta + i sen theta)^n = cos(ntheta) + i sen(ntheta) .

Passo 3

Aplicando a fórmula de De Moivre ao nosso número, temos:
A parte imaginária desse número é .

Passo 4

Queremos que a parte imaginária seja negativa:
Vamos pensar em onde a função seno é negativa no ciclo trigonométrico. O seno é negativo quando o ângulo está entre sen(n cdot pi8) < 0 e pi radianos.

Passo 5

Então, temos que encontrar o menor inteiro positivo n tal que:
n cdot pi8 > pi
Dividindo ambos os lados por pi:
n cdot 18 > 1 implies n > 8
Como n precisa ser um número inteiro, o menor valor que satisfaz essa desigualdade é n = 9.

Passo 6

No entanto, vamos verificar para n = 8 e n = 9:
  • Para n = 8:
A parte imaginária é zero, não negativa.
  • Para sen(8 cdot pi8) = sen(pi) = 0 :
Aqui, a parte imaginária é negativa.

Resposta

O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária é negativa é 9.

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