Determine a dimensão e uma base do espaço vetorial S=(x, y, z) in R^3 mid 2 x+y+z=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar a dimensão e uma base para o espaço vetorial . Isso tá ligado ao estudo de espaços vetoriais e subespaços dentro do . Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, dimensão de espaços vetoriais e bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o espaço . Ele é formado por todos os triplos em que satisfazem a equação . Essa equação é um sistema linear com uma única equação e três incógnitas, o que significa que vamos ter um espaço vetorial de dimensão 2, já que .

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma base para z = -2x - y . Para isso, vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos isolar :

Passo 4

Com (x, y, z) = (x, y, -2x - y) = x cdot (1, 0, -2) + y cdot (0, 1, -1) , podemos escrever um vetor genérico em assim:
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 5

Como encontramos dois vetores que geram , (1, 0, -2),; (0, 1, -1) , e eles são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), esses vetores formam uma base para . Portanto, a dimensão de é 2, e uma base possível é:

Resposta

A dimensão de é 2 e uma base para é .

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