Determine a dimensão e uma base do espaço vetorial
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar a dimensão e uma base para o espaço vetorial
. Isso tá ligado ao estudo de espaços vetoriais e subespaços dentro do
. Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, dimensão de espaços vetoriais e bases.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o espaço
. Ele é formado por todos os triplos
em
que satisfazem a equação
. Essa equação é um sistema linear com uma única equação e três incógnitas, o que significa que vamos ter um espaço vetorial de dimensão 2, já que
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma base para
. Para isso, vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos isolar
:
Passo 4
Com
, podemos escrever um vetor genérico em
assim:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 5
Como encontramos dois vetores que geram
e eles são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), esses vetores formam uma base para
. Portanto, a dimensão de
é 2, e uma base possível é:
Resposta
A dimensão de
é 2 e uma base para
é
.