Determine a dimensão e uma base do espaço vetorial
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar a dimensão e uma base para o espaço vetorial . Isso tá ligado ao estudo de espaços vetoriais e subespaços dentro do . Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, dimensão de espaços vetoriais e bases.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o espaço . Ele é formado por todos os triplos em que satisfazem a equação . Essa equação é um sistema linear com uma única equação e três incógnitas, o que significa que vamos ter um espaço vetorial de dimensão 2, já que .
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma base para . Para isso, vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos isolar :
Passo 4
Com , podemos escrever um vetor genérico em assim:
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .
Passo 5
Como encontramos dois vetores que geram e eles são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), esses vetores formam uma base para . Portanto, a dimensão de é 2, e uma base possível é: