Determine a dimensão e uma base do espaço vetorial

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente precisa encontrar a dimensão e uma base para o espaço vetorial . Isso tá ligado ao estudo de espaços vetoriais e subespaços dentro do . Pra resolver isso, vamos precisar usar conceitos de sistemas lineares, dimensão de espaços vetoriais e bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o espaço . Ele é formado por todos os triplos em que satisfazem a equação . Essa equação é um sistema linear com uma única equação e três incógnitas, o que significa que vamos ter um espaço vetorial de dimensão 2, já que .

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma base para . Para isso, vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos isolar :

Passo 4

Com , podemos escrever um vetor genérico em assim:
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 5

Como encontramos dois vetores que geram e eles são linearmente independentes (nenhum é múltiplo do outro), esses vetores formam uma base para . Portanto, a dimensão de é 2, e uma base possível é:

Resposta

A dimensão de é 2 e uma base para é .

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Considere as matrizes e e use um software matemático para verificar a validade das seguintes propriedades:
(a)
(b)
©
(UFRGS-2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo é negativa é
d) 8 .
Calcule os determinantes das matrizes abaixo sabendo que . (d)
(PUC-MG) Escreva na forma a + bi, o produto dos trés números complexos: