Considere as matrizes: .
Calcule as seguintes matrizes, quando for possível. Se não for possível, justifique.
(j) A(B C)=D
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para calcular a matriz e ver se essa mesma matriz é igual à matriz . Estamos lidando com multiplicação de matrizes, que é um conceito fundamental em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar multiplicar as matrizes e primeiro, depois multiplicar o resultado pela matriz , e finalmente comparar com a matriz .
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar as matrizes BC = 4 & -1 0 & 2 1 & 4 & 2 3 & 1 & 5 e (4 times 1) + (-1 times 3) = 4 - 3 = 1 . Lembrando que para multiplicar duas matrizes, o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz (4 times 4) + (-1 times 1) = 16 - 1 = 15 é de tamanho (4 times 2) + (-1 times 5) = 8 - 5 = 3 e a matriz (0 times 1) + (2 times 3) = 0 + 6 = 6 é de tamanho (0 times 4) + (2 times 1) = 0 + 2 = 2 , então podemos multiplicá-las e o resultado será uma matriz de tamanho (0 times 2) + (2 times 5) = 0 + 10 = 10 .
A multiplicação de matrizes é feita assim:
BC = 1 & 15 & 3 6 & 2 & 10
Agora, vamos calcular cada elemento da matriz resultante :
Elemento (1,1):
Elemento (1,2):
Elemento (1,3):
Elemento (2,1):
Elemento (2,2):
Elemento (2,3):
Portanto, a matriz fica:
Passo 3
Agora que temos o resultado de A(BC) = 3 & 0 -1 & 2 1 & 1 1 & 15 & 3 6 & 2 & 10 , vamos multiplicar pela matriz (3 times 1) + (0 times 6) = 3 + 0 = 3 . A matriz (3 times 15) + (0 times 2) = 45 + 0 = 45 é de tamanho (3 times 3) + (0 times 10) = 9 + 0 = 9 e (-1 times 1) + (2 times 6) = -1 + 12 = 11 é de tamanho (-1 times 15) + (2 times 2) = -15 + 4 = -11 , então a multiplicação (-1 times 3) + (2 times 10) = -3 + 20 = 17 vai resultar em uma matriz de tamanho (1 times 1) + (1 times 6) = 1 + 6 = 7 .
A multiplicação fica assim:
(1 times 15) + (1 times 2) = 15 + 2 = 17
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante (1 times 3) + (1 times 10) = 3 + 10 = 13 :
Elemento (1,1):
A(BC) = 3 & 45 & 9 11 & -11 & 17 7 & 17 & 13
Elemento (1,2):
Elemento (1,3):
Elemento (2,1):
Elemento (2,2):
Elemento (2,3):
Elemento (3,1):
Elemento (3,2):
Elemento (3,3):
Portanto, a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos comparar a matriz D = 1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4 que calculamos com a matriz fornecida:
Vamos ver elemento por elemento:
(1,1): (A(BC)) vs (D) → Diferente
(1,2): vs → Diferente
(1,3): vs → Diferente
(2,1): vs → Diferente
(2,2): vs → Diferente
(2,3): vs → Diferente
(3,1): vs → Diferente
(3,2): vs → Diferente
(3,3): vs → Diferente
Como todos os elementos são diferentes, podemos concluir que não é igual a .