Verdadeiro ou falso? Em caso de ser verdadeiro, justifique com matrizes genéricas. Em caso de falsidade, apresente um exemplo que comprove.
(b) (c1 A)(c2 B)=(c1 c2) A B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! No exercício que você enviou, a gente precisa descobrir se a igualdade (c1 A)(c2 B)=(c1 c2) A B é verdadeira ou falsa. Aqui, c1 e c2 são escalares (números reais ou complexos) e A e B são matrizes quaisquer. O conteúdo que vamos usar envolve propriedades das matrizes e a operação de multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de uma matriz por um escalar. Se você tem um escalar c e uma matriz A, então cA significa que cada elemento da matriz A é multiplicado por c. Matematicamente, se A = [aij], então cA = [c cdot aij].

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade: (c1 A)(c2 B). Primeiro, multiplicamos cada elemento de A por c1, obtendo c1 A. Em seguida, multiplicamos cada elemento de B por c2, obtendo c2 B. Depois, multiplicamos as duas matrizes resultantes: (c1 A)(c2 B).

Passo 4

Vamos agora analisar o lado direito da igualdade: (c1 c2) A B. Aqui, primeiro multiplicamos os escalares c1 e c2, resultando em c1 c2. Depois, multiplicamos essa constante pela matriz A B.

Passo 5

Para verificar se a igualdade é verdadeira, precisamos ver se (c1 A)(c2 B) é igual a (c1 c2) AB. Sabemos que a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral, ou seja, A B pode não ser igual a B A. Além disso, a ordem das multiplicações por escalares e matrizes pode afetar o resultado.

Passo 6

Vamos usar um exemplo concreto para testar a igualdade. Considere:
c1 = 2, c2 = 3,
A = 1 & 00 & 1 (a matriz identidade),
B = 0 & 11 & 0 (uma matriz de troca).
Calculando o lado esquerdo:
c1 A = 2 1 & 00 & 1 = 2 & 00 & 2
c2 B = 3 0 & 11 & 0 = 0 & 33 & 0
Multiplicando as duas matrizes:
2 & 00 & 2 0 & 33 & 0 = (2 cdot 0 + 0 cdot 3) & (2 cdot 3 + 0 cdot 0)(0 cdot 0 + 2 cdot 3) & (0 cdot 3 + 2 cdot 0) = 0 & 66 & 0
Agora, o lado direito:
c1 c2 = 2 cdot 3 = 6
A B = 1 & 00 & 1 0 & 11 & 0 = (1 cdot 0 + 0 cdot 1) & (1 cdot 1 + 0 cdot 0)(0 cdot 0 + 1 cdot 1) & (0 cdot 1 + 1 cdot 0) = 0 & 11 & 0
Multiplicando por c1 c2:
6 0 & 11 & 0 = 0 & 66 & 0

Passo 7

Comparando os resultados, vemos que (c1 A)(c2 B) = 0 & 66 & 0 e (c1 c2) A B = 0 & 66 & 0. Eles são iguais nesse exemplo específico.

Resposta

Verdadeiro. Para quaisquer escalares c1, c2 e matrizes A, B, temos (c1 A)(c2 B)=(c1 c2) A B.

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