Verdadeiro ou falso? Em caso de ser verdadeiro, justifique com matrizes genéricas. Em caso de falsidade, apresente um exemplo que comprove.
(b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! No exercício que você enviou, a gente precisa descobrir se a igualdade é verdadeira ou falsa. Aqui, e são escalares (números reais ou complexos) e e são matrizes quaisquer. O conteúdo que vamos usar envolve propriedades das matrizes e a operação de multiplicação por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de uma matriz por um escalar. Se você tem um escalar e uma matriz , então significa que cada elemento da matriz é multiplicado por . Matematicamente, se , então .

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade: . Primeiro, multiplicamos cada elemento de por , obtendo . Em seguida, multiplicamos cada elemento de por , obtendo . Depois, multiplicamos as duas matrizes resultantes: .

Passo 4

Vamos agora analisar o lado direito da igualdade: . Aqui, primeiro multiplicamos os escalares e , resultando em . Depois, multiplicamos essa constante pela matriz .

Passo 5

Para verificar se a igualdade é verdadeira, precisamos ver se é igual a . Sabemos que a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral, ou seja, pode não ser igual a . Além disso, a ordem das multiplicações por escalares e matrizes pode afetar o resultado.

Passo 6

Vamos usar um exemplo concreto para testar a igualdade. Considere:
, ,
(a matriz identidade),
(uma matriz de troca).
Calculando o lado esquerdo:
Multiplicando as duas matrizes:
Agora, o lado direito:
Multiplicando por :

Passo 7

Comparando os resultados, vemos que e . Eles são iguais nesse exemplo específico.

Resposta

Verdadeiro. Para quaisquer escalares , e matrizes , , temos .

Exercícios relacionados

Se é uma matriz diagonal então
Considere as matrizes:
.
Calcule as seguintes matrizes, quando for possível. Se não for possível, justifique.
(j)
Escreva as matrizes a seguir com base na fórmulas dadas:
(a) , em que ,
Se é uma matriz triangular superior, então é