Verdadeiro ou falso? Em caso de ser verdadeiro, justifique com matrizes genéricas. Em caso de falsidade, apresente um exemplo que comprove.
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! No exercício que você enviou, a gente precisa descobrir se a igualdade é verdadeira ou falsa. Aqui, e são escalares (números reais ou complexos) e e são matrizes quaisquer. O conteúdo que vamos usar envolve propriedades das matrizes e a operação de multiplicação por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de uma matriz por um escalar. Se você tem um escalar e uma matriz , então significa que cada elemento da matriz é multiplicado por . Matematicamente, se , então .
Passo 3
Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade: . Primeiro, multiplicamos cada elemento de por , obtendo . Em seguida, multiplicamos cada elemento de por , obtendo . Depois, multiplicamos as duas matrizes resultantes: .
Passo 4
Vamos agora analisar o lado direito da igualdade: . Aqui, primeiro multiplicamos os escalares e , resultando em . Depois, multiplicamos essa constante pela matriz .
Passo 5
Para verificar se a igualdade é verdadeira, precisamos ver se é igual a . Sabemos que a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral, ou seja, pode não ser igual a . Além disso, a ordem das multiplicações por escalares e matrizes pode afetar o resultado.
Passo 6
Vamos usar um exemplo concreto para testar a igualdade. Considere:
, ,
(a matriz identidade),
(uma matriz de troca).
Calculando o lado esquerdo:
Multiplicando as duas matrizes:
Agora, o lado direito:
Multiplicando por :
Passo 7
Comparando os resultados, vemos que e . Eles são iguais nesse exemplo específico.
Resposta
Verdadeiro. Para quaisquer escalares , e matrizes , , temos .