Verdadeiro ou falso? Em caso de ser verdadeiro, justifique com matrizes genéricas. Em caso de falsidade, apresente um exemplo que comprove.
(b)
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! No exercício que você enviou, a gente precisa descobrir se a igualdade
é verdadeira ou falsa. Aqui,
e
são escalares (números reais ou complexos) e
e
são matrizes quaisquer. O conteúdo que vamos usar envolve propriedades das matrizes e a operação de multiplicação por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a multiplicação de uma matriz por um escalar. Se você tem um escalar
e uma matriz
, então
significa que cada elemento da matriz
é multiplicado por
. Matematicamente, se
, então
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o lado esquerdo da igualdade:
. Primeiro, multiplicamos cada elemento de
por
, obtendo
. Em seguida, multiplicamos cada elemento de
por
, obtendo
. Depois, multiplicamos as duas matrizes resultantes:
.
Passo 4
Vamos agora analisar o lado direito da igualdade:
. Aqui, primeiro multiplicamos os escalares
e
, resultando em
. Depois, multiplicamos essa constante pela matriz
.
Passo 5
Para verificar se a igualdade é verdadeira, precisamos ver se
é igual a
. Sabemos que a multiplicação de matrizes não é comutativa em geral, ou seja,
pode não ser igual a
. Além disso, a ordem das multiplicações por escalares e matrizes pode afetar o resultado.
Passo 6
Vamos usar um exemplo concreto para testar a igualdade. Considere:
Calculando o lado esquerdo:
Multiplicando as duas matrizes:
Agora, o lado direito:
Multiplicando por
:
Passo 7
Comparando os resultados, vemos que
e
. Eles são iguais nesse exemplo específico.
Resposta
Verdadeiro. Para quaisquer escalares
,
e matrizes
,
, temos
.