Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(b) ( ) Se
então
.
(b) ( ) Se
Passo 1
Beleza, vamos analisar a afirmação:
"Se
então
."
Aqui, estamos lidando com matrizes e determinantes. O que precisamos entender é o que significa
e como isso se relaciona com o determinante de
.
Passo 2
Primeiro,
indica que
é uma matriz ortogonal. Matrizes ortogonais têm a propriedade de preservar comprimentos e ângulos, o que é super útil em várias áreas como geometria e física.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o determinante. O determinante de uma matriz,
, é um número que nos dá informações sobre a escala e a orientação que a matriz aplica ao espaço. Para matrizes ortogonais, há uma característica especial sobre seus determinantes.
Passo 4
Para uma matriz ortogonal
, sabemos que
. O determinante de uma matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original, ou seja,
.
Passo 5
Usando a propriedade
, podemos tirar o determinante dos dois lados:
Sabemos que
. Além disso,
.
Então,
Passo 6
Resolvendo
, temos que
. Ou seja, o determinante de
só pode ser 1 ou -1.
Resposta
A afirmação é verdadeira. Se
, então
pertence ao conjunto
.