Decida se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com um argumento lógico ou um contra-exemplo.
(b) ( ) Se Q cdot Q^t=I então det Q in-1,1.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a afirmação:
"Se então ."
Aqui, estamos lidando com matrizes e determinantes. O que precisamos entender é o que significa e como isso se relaciona com o determinante de .

Passo 2

Primeiro, indica que é uma matriz ortogonal. Matrizes ortogonais têm a propriedade de preservar comprimentos e ângulos, o que é super útil em várias áreas como geometria e física.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o determinante. O determinante de uma matriz, , é um número que nos dá informações sobre a escala e a orientação que a matriz aplica ao espaço. Para matrizes ortogonais, há uma característica especial sobre seus determinantes.

Passo 4

Para uma matriz ortogonal , sabemos que . O determinante de uma matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original, ou seja, .

Passo 5

Usando a propriedade det(Q cdot Q^t) = det(I) , podemos tirar o determinante dos dois lados:
(det Q)^2 = 1
Sabemos que . Além disso, .
Então,

Passo 6

Resolvendo , temos que . Ou seja, o determinante de só pode ser 1 ou -1.

Resposta

A afirmação é verdadeira. Se , então pertence ao conjunto .

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