Considere as matrizes
A=[rrr 2 & 1 & 2 2 & 2 & -2 3 & 1 & 1 ] e x=[l x1 x2 x3 ]
(a) Mostre que a equação A x=x pode ser reescrita como (A-I) x=0 e use esse resultado para resolver A x=x para x.
(b) Resolva A x=4 x.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente tem uma matriz e um vetor . A questão aborda a resolução de equações do tipo , que está relacionada com autovalores e autovetores. Nesse caso, vamos precisar entender como manipular essa equação para encontrar os vetores que satisfazem a equação para valores específicos de . Vamos resolver as partes (a) e (b) usando esses conceitos.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 pode ser reescrita como e resolver para .
Primeiro, vamos entender o que significa . é a matriz identidade, que em nosso caso, por ser 3x3, é:
A equação pode ser vista como , ou seja, estamos procurando por um autovalor .

Passo 3

Para reescrever A x - x = 0 como A x - I x = (A - I) x = 0 , basta subtrair de ambos os lados:
Como , podemos escrever:

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz A - I = 2-1 & 1 & 2 2 & 2-1 & -2 3 & 1 & 1-1 = 1 & 1 & 2 2 & 1 & -2 3 & 1 & 0 :
1 & 1 & 2 2 & 1 & -2 3 & 1 & 0 x1 x2 x3 = 0 0 0
Então, a equação fica:

$$

$$

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. Podemos escrever as equações correspondentes:
Vamos resolver passo a passo.

Passo 6

Primeiro, da terceira equação, podemos isolar 3x1 + x2 = 0 Rightarrow x2 = -3x1 :

Passo 7

Agora, substituímos x1 + (-3x1) + 2x3 = 0 -2x1 + 2x3 = 0 -2x1 = -2x3 x1 = x3 na primeira equação:

Passo 8

Sabemos que x1 = t x3 = t x2 = -3t e x = t 1 -3 1 . Vamos representar como um parâmetro :
Então, o vetor pode ser escrito como:

Passo 9

Isso significa que todos os vetores 1 -3 1 que satisfazem são múltiplos do vetor .

Passo 10

Parte (b): Resolver .
Aqui, estamos procurando por um autovalor .
Vamos seguir um processo similar ao da parte (a).

Passo 11

Primeiro, reescrevemos a equação A - 4I = 2-4 & 1 & 2 2 & 2-4 & -2 3 & 1 & 1-4 = -2 & 1 & 2 2 & -2 & -2 3 & 1 & -3 como .
Calculando :

Passo 12

Montamos o sistema de equações:

Passo 13

Vamos simplificar as equações. Da segunda equação:
2x1 - 2x2 - 2x3 = 0 Rightarrow x1 - x2 - x3 = 0 Rightarrow x1 = x2 + x3

Passo 14

Substituímos -2(x2 + x3) + x2 + 2x3 = 0 -2x2 - 2x3 + x2 + 2x3 = 0 - x2 = 0 x2 = 0 na primeira equação:

Passo 15

Com e , temos .

Passo 16

Agora, substituímos 3x1 + 0 - 3x3 = 0 3x1 - 3x3 = 0 3x1 = 3x3 x1 = x3 e na terceira equação:
Isso confirma nossa relação anterior.

Passo 17

Vamos representar x1 = t x3 = t x2 = 0 , então:
x = t 1 0 1
Então, o vetor é:

Resposta

(a) Todos os vetores 1 -3 1 que satisfazem 1 0 1 são múltiplos do vetor .
(b) Todos os vetores que satisfazem são múltiplos do vetor .

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