Primeiro, vamos entender o que a questão pede e qual matéria vamos usar. A questão nos dá um operador linear definido por e pede para verificarmos se esse operador é diagonalizável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a operadores lineares, matrizes, autovalores e autovetores.
Passo 2
Vamos começar representando o operador como uma matriz. O operador age sobre um vetor e produz . Isso pode ser representado pela matriz:
Passo 3
Para verificar se é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores e verificar se existe uma base de autovetores. Uma matriz é diagonalizável se o número de autovetores linearmente independentes for igual à sua dimensão, ou seja, 3 neste caso.
Passo 4
Vamos encontrar os autovalores de lambda1 = 3, lambda2 = 3, lambda3 = -1 resolvendo a equação característica . Como é uma matriz triangular superior, os autovalores s��o os elementos da diagonal principal. Portanto, os autovalores são:
Passo 5
Agora, precisamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor, ou seja, o número de autovetores correspondentes a cada autovalor.
A única solução é . Assim, os autovetores associados a são da forma , onde e são livres. Portanto, a multiplicidade geométrica de é 2.
Para :
Resolvemos :
[
]
Isso nos dá as equações:
Resolvendo, temos:
Os autovetores associados a são da forma . Portanto, a multiplicidade geométrica de é 1.
Passo 6
Agora, comparamos a multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor:
Para : multiplicidade algébrica = 2 e multiplicidade geométrica = 2
Para : multiplicidade algébrica = 1 e multiplicidade geométrica = 1
Como, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica e a soma das multiplicidades geométricas é igual à dimensão do espaço (3), a matriz é diagonalizável.