Verifique se os operadores são diagonalizáveis. T: R^3 longrightarrow R^3 ; T(x, y, z)=(3 x-4 z, 3 y-5 z,-z).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede e qual matéria vamos usar. A questão nos dá um operador linear definido por e pede para verificarmos se esse operador é diagonalizável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a operadores lineares, matrizes, autovalores e autovetores.

Passo 2

Vamos começar representando o operador A = 3 & 0 & -4 0 & 3 & -5 0 & 0 & -1 como uma matriz. O operador age sobre um vetor e produz . Isso pode ser representado pela matriz:

Passo 3

Para verificar se é diagonalizável, precisamos encontrar seus autovalores e verificar se existe uma base de autovetores. Uma matriz é diagonalizável se o número de autovetores linearmente independentes for igual à sua dimensão, ou seja, 3 neste caso.

Passo 4

Vamos encontrar os autovalores de lambda1 = 3, lambda2 = 3, lambda3 = -1 resolvendo a equação característica . Como é uma matriz triangular superior, os autovalores s��o os elementos da diagonal principal. Portanto, os autovalores são:

Passo 5

Agora, precisamos verificar a multiplicidade geométrica de cada autovalor, ou seja, o número de autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para 0 & 0 & -4 0 & 0 & -5 0 & 0 & -4 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos -4v3 = 0 -5v3 = 0 -4v3 = 0 :

[
4 & 0 & -4 0 & 4 & -5 0 & 0 & 0 v1 v2 v3 = 0 0 0
4v1 - 4v3 = 0 4v2 - 5v3 = 0 0 = 0

v1 = v3 v2 = 54v3
]
Isso nos dá as equações:
A única solução é . Assim, os autovetores associados a são da forma , onde e são livres. Portanto, a multiplicidade geométrica de é 2.
Para :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá as equações:
Resolvendo, temos:
Os autovetores associados a são da forma . Portanto, a multiplicidade geométrica de é 1.

Passo 6

Agora, comparamos a multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor:
  • Para : multiplicidade algébrica = 2 e multiplicidade geométrica = 2
  • Para : multiplicidade algébrica = 1 e multiplicidade geométrica = 1
Como, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica e a soma das multiplicidades geométricas é igual à dimensão do espaço (3), a matriz é diagonalizável.

Resposta

Sim, o operador é diagonalizável.

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