Quando fixamos um sistema de coordenadas no plano ou no espaço
1 ponto
nossas estruturas geométricas ganham representações algébricas. Sejam A, B, C e D pontos do plano com coordenadas: A=(1,1) ; B=(3,4) ; C=(4,3) e D=(2,0), temos que:
I-ABCD é um paralelogramo.
II- O segmento orientado A B e o segmento orientado D C representam o mesmo vetor v. III - O segmento orientado B C e o segmento orientado D A representam vetores u e v, que tem a mesma direção, sentidos opostos e mesma norma (neste caso são chamados vetores opostos).
IV - ABC é um triângulo equilátero.
Podemos afirmar que:
I e III estão incorretas
I e IV estão incorretas.
Todas as alternativas estão corretas.
II e III estão incorretas.
Apenas a alternativa IV está incorreta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que ele está pedindo. Temos quatro pontos no plano com coordenadas específicas:
O exercício apresenta quatro declarações sobre esses pontos relacionadas a vetores e figuras geométricas. Nosso objetivo é verificar quais dessas afirmações estão corretas ou incorretas. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica, como calcular vetores entre pontos, comparar vetores e verificar propriedades de figuras geométricas como paralelogramos e triângulos equiláteros.

Passo 2

Vamos começar verificando a afirmação I: “ABCD é um paralelogramo.”
Para um quadrilátero ser um paralelogramo, os lados opostos devem ser iguais e paralelos. Isso significa que os vetores e devem ser iguais, e e também devem ser iguais.
Primeiro, vamos calcular os vetores:
Observamos que e . Portanto, os lados opostos são iguais e paralelos, confirmando que ABCD é realmente um paralelogramo.

Passo 3

Agora, vamos para a afirmação II: “O segmento orientado e o segmento orientado representam o mesmo vetor .”
Já calculamos esses vetores no passo anterior:
Como , podemos dizer que ambos representam o mesmo vetor . Portanto, a afirmação II está correta.

Passo 4

Vamos verificar agora a afirmação III: “O segmento orientado e o segmento orientado representam vetores e , que têm a mesma direção, sentidos opostos e mesma norma (neste caso são chamados vetores opostos).”
Já calculamos esses vetores:
Observamos que . Para que dois vetores sejam opostos, um deve ser o negativo do outro. Neste caso, como são iguais, eles não são opostos, mas sim vetores iguais com a mesma direção e sentido.
Portanto, a afirmação III está incorreta.

Passo 5

Por último, vamos analisar a afirmação IV: “ABC é um triângulo equilátero.”
Um triângulo é equilátero se todos os seus lados tiverem a mesma medida. Vamos calcular os comprimentos dos lados do triângulo ABC:
  • Comprimento de AB = raiz(3 - 1)^2 + (4 - 1)^2 = raiz2^2 + 3^2 = raiz4 + 9 = raiz13 :
    BC = raiz(4 - 3)^2 + (3 - 4)^2 = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2
  • Comprimento de AC = raiz(4 - 1)^2 + (3 - 1)^2 = raiz3^2 + 2^2 = raiz9 + 4 = raiz13 :
  • Comprimento de :
Os comprimentos dos lados são , e . Como nem todos os lados têm o mesmo comprimento, o triângulo ABC não é equilátero. Portanto, a afirmação IV está incorreta.

Resposta

Apenas a afirmação III está incorreta.

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