Considere as matrizes
A=[rrr 2 & 1 & 2 2 & 2 & -2 3 & 1 & 1 ] e x=[l x1 x2 x3 ]
Resolva A x=4 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema onde temos a equação . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente tratando de autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular matrizes e sistemas lineares para encontrar os vetores que satisfazem essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação A x - 4 x = 0 de uma forma que facilite a resolução. Podemos trazer o termo (A - 4I) x = 0 para o lado esquerdo da equação:
Isso pode ser escrito como:
onde é a matriz identidade de mesma dimensão que .

Passo 3

Agora, vamos calcular a matriz I = [rrr 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ] . A matriz identidade 4I = [rrr 4 & 0 & 0 0 & 4 & 0 0 & 0 & 4 ] é:
A - 4I = [rrr 2-4 & 1-0 & 2-0 2-0 & 2-4 & -2-0 3-0 & 1-0 & 1-4 ] = [rrr -2 & 1 & 2 2 & -2 & -2 3 & 1 & -3 ]
Multiplicando por 4, temos:
Então, subtraindo de :

Passo 4

Agora, temos o sistema homogêneo [rrr -2 & 1 & 2 2 & -2 & -2 3 & 1 & -3 ] [l x1 x2 x3 ] = [l 0 0 0 ] , que é:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de , e .

Passo 5

Vamos escrever as equações correspondentes:
-2x1 + x2 + 2x3 = 0 2x1 - 2x2 - 2x3 = 0 3x1 + x2 - 3x3 = 0
Podemos simplificar o sistema. Observe que a segunda equação é o negativo da primeira, então ela não agrega nova informação. Vamos usar a primeira e a terceira equação:
-2x1 + x2 + 2x3 = 0 3x1 + x2 - 3x3 = 0
Vamos resolver a primeira equação para x2 = 2x1 - 2x3 :
3x1 + (2x1 - 2x3) - 3x3 = 0 5x1 - 5x3 = 0 5x1 = 5x3 x1 = x3
Agora, substituímos na segunda equação:

Passo 6

Sabendo que x2 = 2x1 - 2x3 = 2x1 - 2x1 = 0 , vamos substituir de volta na expressão de x2 = 0 x1 = x3 :
Então, temos:
Isso significa que e podem ser quaisquer valores, desde que .

Resposta

A solução do sistema é qualquer vetor da forma:
x = [l t 0 t ], t in R
ou seja, os vetores l 1 0 1 que solucionam são múltiplos de .

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