Sejam
base ordenadas de
.
Determine:
onde
na base canônica.
Determine:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas bases ordenadas, chamadas β₁ e β₂, no espaço bidimensional ℝ². A base β₂ é formada pelos vetores (-1; 0) e (1; 1). Nosso objetivo é descobrir as coordenadas do vetor v = (2; -3) na base β₂. Para isso, vamos precisar entender como expressar um vetor em uma nova base, ou seja, encontrar quais combinações lineares dos vetores da base β₂ resultam em v.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma base de ℝ² é um conjunto de dois vetores que são linearmente independentes. Isso significa que qualquer vetor no espaço pode ser escrito de forma única como uma combinação desses dois vetores. No nosso caso, queremos encontrar escalares a e b tais que:
v = a * (-1; 0) + b * (1; 1)
Passo 3
Agora, vamos escrever isso de forma mais clara, separando as componentes x e y:
(2; -3) = a * (-1; 0) + b * (1; 1)
Isso se traduz em duas equações:
Para a componente x:
2 = -a + b
2 = -a + b
Para a componente y:
-3 = 0 * a + b
-3 = 0 * a + b
Passo 4
Vamos resolver essas equações para encontrar os valores de a e b. Começando pela segunda equação:
-3 = b
Então, já sabemos que b = -3.
Passo 5
Com o valor de b encontrado, vamos substituir na primeira equação para encontrar a:
2 = -a + (-3)
Isso fica:
2 = -a - 3
Agora, vamos isolar a:
2 + 3 = -a
5 = -a
Portanto, a = -5.
Passo 6
Agora que temos os valores de a e b, podemos escrever as coordenadas de v na base β₂. Lembrando que [v]₍β₂₎ = (a; b), substituindo os valores encontrados:
[v]₍β₂₎ = (-5; -3)
Resposta
As coordenadas do vetor v = (2; -3) na base β₂ são [v]₍β₂₎ = (-5; -3).