Se a matriz A de tamanho n times n pode ser expressa como A=L U, em que L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superior, então o sistema A x=b pode ser expresso como L U x=b e pode ser, portanto, resolvido em dois passos, como segue. Passo 1. Seja U x=y, de modo que L U x=b pode ser escrito como L y=b. Resolva esse sistema.
[rrr1 & 0 & 0 -2 & 3 & 0 2 & 4 & 1][rrr2 & -1 & 3 0 & 1 & 2 0 & 0 & 4][lx1 x2 x3]=[r1 -2 0]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para resolver o sistema linear , onde a matriz é decomposta em . Aqui, é uma matriz triangular inferior e é uma matriz triangular superior. Usaremos essa decomposição para resolver o sistema em dois passos. Vamos precisar entender como resolver sistemas com matrizes triangulares usando substituição direta e retroativa.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema usando a decomposição L U x = b :
L y = b
Vamos definir . Assim, o sistema fica:
Agora, precisamos resolver esse novo sistema para encontrar .

Passo 3

Como 1 cdot y1 + 0 cdot y2 + 0 cdot y3 = 1 -2 cdot y1 + 3 cdot y2 + 0 cdot y3 = -2 2 cdot y1 + 4 cdot y2 + 1 cdot y3 = 0 é uma matriz triangular inferior, podemos resolver usando substituição direta. Vamos escrever as equações correspondentes:

Passo 4

Resolvendo a primeira equação:
y1 = 1

Passo 5

Substituímos -2 cdot 1 + 3 cdot y2 = -2 -2 + 3 y2 = -2 3 y2 = 0 y2 = 0 na segunda equação:

Passo 6

Agora, substituímos 2 cdot 1 + 4 cdot 0 + y3 = 0 2 + y3 = 0 y3 = -2 e na terceira equação:

Passo 7

Agora que encontramos 1 0 -2 , vamos resolver 2 x1 - x2 + 3 x3 = 1 0 cdot x1 + 1 x2 + 2 x3 = 0 0 cdot x1 + 0 cdot x2 + 4 x3 = -2 . Como é uma matriz triangular superior, usaremos substituição retroativa.
Escrevendo as equações:

Passo 8

Resolvendo a terceira equação:
4 x3 = -2 x3 = -24 = -12

Passo 9

Substituímos x2 + 2 cdot (-12) = 0 x2 - 1 = 0 x2 = 1 na segunda equação:

Passo 10

Agora, substituímos 2 x1 - 1 + 3 cdot (-12) = 1 2 x1 - 1 - 32 = 1 2 x1 - 52 = 1 2 x1 = 72 x1 = 74 e na primeira equação:

Resposta

A solução do sistema é:
x = dfrac74 1 -dfrac12

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