Considere a mesma situação do item 1. Sabendo-se que essa população atinge o máximo de 690 indivíduos e que em 10 dias havia 240 indivíduos, determine a população em função do tempo supondo-se que a taxa de crescimento da população é proporcional tanto à população atual quanto à diferença entre a população máxima e a população atual. (Crescimento Logístico) R:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre o crescimento de uma população que não cresce indefinidamente, mas sim atinge um limite máximo de 690 indivíduos. Em 10 dias, a população já estava em 240 indivíduos. A gente precisa encontrar uma fórmula que descreva essa população ao longo do tempo, considerando que a taxa de crescimento depende tanto da população atual quanto da diferença entre a população máxima e a atual. Isso tudo é baseado no Modelo de Crescimento Logístico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Crescimento Logístico. Diferente do crescimento exponencial, que cresce sem limites, o crescimento logístico considera um limite máximo que a população pode atingir, chamado de capacidade de carga (K). A equação básica do crescimento logístico é:
Aqui, é a população no tempo , é a taxa de crescimento, e é a capacidade de carga (no caso, 690).
Passo 3
Vamos separar as variáveis para resolver a equação diferencial. Reorganizamos a equação para:
Integrando ambos os lados, obtemos:
Passo 4
Resolvendo a integral do lado esquerdo, podemos usar frações parciais:
Integrando, ficamos com:
Onde é a constante de integração.
Passo 5
Vamos isolar . Multiplicando ambos os lados por :
Onde .
Aplicando a função exponencial em ambos os lados:
Onde é uma nova constante.
Passo 6
Resolvendo para :
Podemos reescrever isso como:
Vamos chamar , então:
Passo 7
Agora, precisamos determinar as constantes e usando as condições iniciais. Sabemos que quando dias, :
Resolvendo essa equação para encontrar e , e ajustando os valores para simplificar a expressão, chegamos à fórmula final: