Considere uma situação formada por uma população de organismos zooplanctônicos. São colocadas em um béquer 3 fêmeas partenogenéticas grávidas (não necessariamente de fecundação pelo macho) de um microcrustáceo chamada cladócero em condições ideais de alimentação, temperatura, aeração, iluminação e ausência de predadores. Sabendo-se que em 10 dias havia 240 indivíduos, determine a população em função do tempo supondo-se que a taxa de crescimento da população é proporcional à população atual.

Passo 1

Vamos lá! Temos um exercício sobre crescimento populacional de microcrustáceos chamados cladócero. A ideia é descobrir como a população cresce ao longo do tempo, sabendo que a taxa de crescimento é proporcional à população atual. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de matemática sobre crescimento exponencial e usar algumas fórmulas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que o problema nos dá:
  • Começamos com 3 fêmeas grávidas.
  • Após 10 dias, a população total é de 240 indivíduos.
  • A taxa de crescimento é proporcional à população atual.

Passo 3

Quando a taxa de crescimento de uma população é proporcional à população atual, isso significa que estamos lidando com um crescimento exponencial. A fórmula geral para esse tipo de crescimento é:
Onde:
  • é a população no tempo .
  • é a população inicial.
  • é a constante de crescimento.
  • é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.

Passo 4

Vamos usar os dados fornecidos para encontrar a constante .
Sabemos que:
  • (população inicial)
  • (população após 10 dias)
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos resolver para :
Primeiro, dividimos ambos os lados por 3:
Para tirar o do expoente, usamos o logaritmo natural:
Então, isolando :

Passo 6

Agora que temos , podemos escrever a função de crescimento populacional:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:

Resposta

A função que descreve a população em função do tempo é:

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© Em quanto tempo o termômetro irá marcar ? R : e20seg