Considere uma situação formada por uma população de organismos zooplanctônicos. São colocadas em um béquer 3 fêmeas partenogenéticas grávidas (não necessariamente de fecundação pelo macho) de um microcrustáceo chamada cladócero em condições ideais de alimentação, temperatura, aeração, iluminação e ausência de predadores. Sabendo-se que em 10 dias havia 240 indivíduos, determine a população em função do tempo supondo-se que a taxa de crescimento da população é proporcional à população atual.
Passo 1
Vamos lá! Temos um exercício sobre crescimento populacional de microcrustáceos chamados cladócero. A ideia é descobrir como a população cresce ao longo do tempo, sabendo que a taxa de crescimento é proporcional à população atual. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de matemática sobre crescimento exponencial e usar algumas fórmulas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que o problema nos dá:
- Começamos com 3 fêmeas grávidas.
- Após 10 dias, a população total é de 240 indivíduos.
- A taxa de crescimento é proporcional à população atual.
Passo 3
Quando a taxa de crescimento de uma população é proporcional à população atual, isso significa que estamos lidando com um crescimento exponencial. A fórmula geral para esse tipo de crescimento é:
Onde:
-
é a população no tempo . -
é a população inicial. -
é a constante de crescimento. -
é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828.
Passo 4
Vamos usar os dados fornecidos para encontrar a constante
.
Sabemos que:
-
(população inicial) -
(população após 10 dias)
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Primeiro, dividimos ambos os lados por 3:
Para tirar o
do expoente, usamos o logaritmo natural:
Então, isolando
:
Passo 6
Agora que temos
, podemos escrever a função de crescimento populacional:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
A função que descreve a população em função do tempo é:
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e20seg
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(b) Qual será a leitura do termômetro após 1 minuto?
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