Suponha que um automóvel sofre depreciação numa taxa que é proporcional ao seu valor num instante
. Este automóvel novo custa
. Após um ano de uso, o seu valor é de
. Qual será o valor do carro após dois anos de uso? R:
Passo 1
Então, a gente tem um carro que está perdendo valor com o tempo, ou seja, deprecia. O enunciado nos diz que a depreciação acontece numa taxa proporcional ao valor do carro naquele momento. O carro novo custa R$ 35.000, e depois de um ano, vale R$ 30.000. Queremos descobrir quanto ele vai valer depois de dois anos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente equações diferenciais que modelam depreciação proporcional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa depreciação proporcional. Isso quer dizer que a taxa de perda de valor do carro é proporcional ao valor atual dele. Matemáticamente, isso é representado por:
Onde:
-
é o valor do carro no tempo -
é a constante de proporcionalidade - O sinal negativo indica que o valor está diminuindo
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, a gente separa as variáveis e integra:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Podemos reescrever
como
, que é o valor inicial do carro. Então:
Passo 4
Sabemos que
. Também sabemos que após 1 ano (
), o valor é
. Vamos usar essa informação para encontrar
:
Dividindo ambos os lados por 35.000:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Então:
Passo 5
Agora que temos
, podemos escrever a função que descreve o valor do carro ao longo do tempo:
Passo 6
Para encontrar o valor após dois anos (
):
Sabemos que
, então:
Calculando
: