Suponha que um automóvel sofre depreciação numa taxa que é proporcional ao seu valor num instante t. Este automóvel novo custa R. Após um ano de uso, o seu valor é de Após um ano de uso, o seu valor é de 0. Qual será o valor do carro após dois anos de uso? R: 30000,00

Passo 1

Então, a gente tem um carro que está perdendo valor com o tempo, ou seja, deprecia. O enunciado nos diz que a depreciação acontece numa taxa proporcional ao valor do carro naquele momento. O carro novo custa R$ 35.000, e depois de um ano, vale R$ 30.000. Queremos descobrir quanto ele vai valer depois de dois anos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente equações diferenciais que modelam depreciação proporcional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa depreciação proporcional. Isso quer dizer que a taxa de perda de valor do carro é proporcional ao valor atual dele. Matemáticamente, isso é representado por:
Onde:
  • é o valor do carro no tempo
  • é a constante de proporcionalidade
  • O sinal negativo indica que o valor está diminuindo

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, a gente separa as variáveis e integra:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Podemos reescrever como , que é o valor inicial do carro. Então:

Passo 4

Sabemos que . Também sabemos que após 1 ano ( ), o valor é . Vamos usar essa informação para encontrar :
Dividindo ambos os lados por 35.000:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Então:

Passo 5

Agora que temos , podemos escrever a função que descreve o valor do carro ao longo do tempo:

Passo 6

Para encontrar o valor após dois anos ( ):
Sabemos que , então:
Calculando :

Resposta

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