Um tambor cilíndrico, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Se fizermos um furo no fundo e em 30 minutos a água cair pela metade, determine a altura
da água dentro do tambor em função do tempo. Em quanto tempo o tanque esvaziará?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tambor cilíndrico cheio de água, com 2 metros de altura e base de raio 1 metro. Quando fazemos um furo no fundo, a água começa a sair. Sabemos que em 30 minutos a altura da água cai pela metade, ou seja, de 2 metros para 1 metro. Nosso objetivo é descobrir:
- A altura
da água no tambor em função do tempo. - Quanto tempo levará para o tambor esvaziar completamente.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática dos fluidos, especificamente a Lei de Torricelli, que nos ajuda a relacionar a velocidade da água saindo com a altura da coluna de água.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Torricelli. Ela nos diz que a velocidade
com que a água sai pelo furo é dada por:
Onde:
-
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ). -
é a altura da água acima do furo.
Essa equação nos mostra que a velocidade de saída depende da raiz quadrada da altura da água.
Passo 3
Como queremos relacionar a altura da água com o tempo, precisamos estabelecer uma relação entre a taxa de variação da altura e o fluxo de água saindo.
A taxa de saída volumétrica (
) é dada pela área do furo multiplicada pela velocidade da água:
Mas como o volume
de água no tambor é
(sendo
), temos:
Igualando as duas expressões para
:
O sinal negativo indica que a altura está diminuindo.
Passo 4
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
:
Agora, integrando ambos os lados, temos:
Integrando, obtemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos determinar a constante
usando a condição inicial. No tempo
, a altura
:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, vamos usar a informação de que em 30 minutos (
), a altura cai para 1 metro:
Simplificando:
Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na equação geral para encontrar
:
Dividindo ambos os lados por 2:
Elevando ao quadrado para resolver para
:
Passo 8
Para encontrar o tempo total para o tanque esvaziar, buscamos
:
Resolvendo para
:
Calculando numérico:
Convertendo para horas:
Resposta
A altura da água no tambor em função do tempo é:
O tanque esvaziará completamente após aproximadamente 1 hora e 42 minutos.