Um tambor cilíndrico, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Se fizermos um furo no fundo e em 30 minutos a água cair pela metade, determine a altura da água dentro do tambor em função do tempo. Em quanto tempo o tanque esvaziará?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tambor cilíndrico cheio de água, com 2 metros de altura e base de raio 1 metro. Quando fazemos um furo no fundo, a água começa a sair. Sabemos que em 30 minutos a altura da água cai pela metade, ou seja, de 2 metros para 1 metro. Nosso objetivo é descobrir:
  1. A altura da água no tambor em função do tempo.
  2. Quanto tempo levará para o tambor esvaziar completamente.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática dos fluidos, especificamente a Lei de Torricelli, que nos ajuda a relacionar a velocidade da água saindo com a altura da coluna de água.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Torricelli. Ela nos diz que a velocidade com que a água sai pelo furo é dada por:
Onde:
  • é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
  • é a altura da água acima do furo.
Essa equação nos mostra que a velocidade de saída depende da raiz quadrada da altura da água.

Passo 3

Como queremos relacionar a altura da água com o tempo, precisamos estabelecer uma relação entre a taxa de variação da altura e o fluxo de água saindo.
A taxa de saída volumétrica ( ) é dada pela área do furo multiplicada pela velocidade da água:
Mas como o volume de água no tambor é (sendo ), temos:
Igualando as duas expressões para :
O sinal negativo indica que a altura está diminuindo.

Passo 4

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e :
Agora, integrando ambos os lados, temos:
Integrando, obtemos:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos determinar a constante usando a condição inicial. No tempo , a altura :
Então, a equação fica:

Passo 6

Agora, vamos usar a informação de que em 30 minutos ( ), a altura cai para 1 metro:
Simplificando:
Resolvendo para :

Passo 7

Agora, substituímos de volta na equação geral para encontrar :
Dividindo ambos os lados por 2:
Elevando ao quadrado para resolver para :

Passo 8

Para encontrar o tempo total para o tanque esvaziar, buscamos :
Resolvendo para :
Calculando numérico:
Convertendo para horas:

Resposta

A altura da água no tambor em função do tempo é:
O tanque esvaziará completamente após aproximadamente 1 hora e 42 minutos.

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(b) Obtenha uma aproximação para . Faça isso integrando o resultado do item (a), já que:
(opcional) Para , encontre a aproximação por polinômio de Taylor que garante um erro menor do que para todo . Usando esta aproximação, escreva um programa que calcule . Compare o resultado de sua função com o resultado da função da linguagem de programação que você utiliza.
Se uma aplicação rende juros de ao mês (continuamente). Determine o saldo em função do tempo e o saldo após 12 meses, sendo o saldo inicial de . R:
Considere a mesma situação do item 1. Sabendo-se que essa população atinge o máximo de 690 indivíduos e que em 10 dias havia 240 indivíduos, determine a população em função do tempo supondo-se que a taxa de crescimento da população é proporcional tanto à população atual quanto à diferença entre a população máxima e a população atual. (Crescimento Logístico) R: