M Considere uma miragem comum formada por ar superaquecido imediatamente acima de uma estrada. Um caminhoneiro, cujos olhos estão acima da estrada, onde , olha para a frente. Ele percebe a ilusão de uma mancha de água além de um ponto na estrada no qual sua linha de visão forma um ângulo de abaixo da horizontal. Encontre o índice de refração do ar imediatamente acima da superficie da estrada.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma miragem formada por ar muito quente logo acima de uma estrada. Um caminhoneiro, que está com os olhos a do chão, olha para frente e vê uma ilusão de uma mancha de água além de um ponto na estrada. Nesse ponto, a linha de visão dele forma um ângulo de abaixo da horizontal. A gente precisa descobrir qual é o índice de refração do ar bem acima da superfície da estrada.
Vamos precisar entender um pouco sobre como a luz se comporta quando passa por diferentes meios (refração) e como isso causa as miragens. A ferramenta principal que vamos usar aqui é a Lei de Snell, que relaciona os índices de refração de dois meios e os ângulos de incidência e refração da luz que passa entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a situação. O caminhoneiro está olhando para frente e vê uma ilusão de água porque a luz está se curvando devido à variação do índice de refração do ar com a altura. O ar próximo à estrada está mais quente, o que faz com que o índice de refração seja ligeiramente diferente do ar mais acima.
Vamos estabelecer um sistema de coordenadas onde a estrada está no nível , e a posição dos olhos do caminhoneiro está em . A linha de visão forma um ângulo de abaixo da horizontal, ou seja, em direção ao solo.

Passo 3

A Lei de Snell nos diz que:
Onde:
  • é o índice de refração do primeiro meio (no caso, o ar acima da estrada).
  • é o ângulo de incidência.
  • é o índice de refração do segundo meio (no caso, o ar mais quente próximo à estrada).
  • é o ângulo de refração.
No nosso caso, como a luz está se curvando para baixo, podemos considerar que o índice de refração está aumentando à medida que nos aproximamos da estrada. Vamos assumir que o índice de refração varia linearmente com a altura.

Passo 4

Vamos considerar uma pequena variação no índice de refração sobre a altura . Podemos relacionar o ângulo de curvatura da luz com essa variação usando a seguinte aproximação para pequenos ângulos:
Onde é a distância horizontal até a ilusão da água. No entanto, como não temos , vamos simplificar usando a relação direta entre o ângulo e a variação do índice de refração.

Passo 5

Usando a fórmula derivada do comportamento da luz em um meio com variação de índice de refração:
Rearranjando para encontrar :
Substituindo os valores conhecidos:
Então:

Resposta

O índice de refração do ar imediatamente acima da superfície da estrada é aproximadamente .

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