Um disco de vinil horizontal de massa e raio gira livremente em torno de um eixo vertical que passa pelo centro com uma velocidade angular de . O momento de inércia do disco em relação ao eixo de rotação é . Um pedaço de massa de modelar de massa cai verticalmente e gruda na borda do disco. Qual é a velocidade angular do disco imediatamente após a massa cair?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de vinil que está girando com uma certa velocidade angular, e um pedaço de massinha cai e gruda na borda do disco. Precisamos descobrir qual será a nova velocidade angular do disco depois que o pedaço de massinha grudar. Para resolver isso, vamos usar o conceito de momento de inércia e conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Massa do disco ( ) = 0,10 kg
  • Raio do disco ( ) = 0,10 m
  • Velocidade angular inicial do disco ( ) = 4,7 rad/s
  • Momento de inércia do disco ( ) =
  • Massa da massinha ( ) = 0,020 kg

Passo 3

Quando a massinha cai e gruda no disco, ela adiciona seu próprio momento de inércia ao sistema. O momento de inércia de um ponto de massa é calculado pela fórmula:
Onde:
  • é a massa
  • é a distância do eixo de rotação

Passo 4

Vamos calcular o momento de inércia da massinha:

Passo 5

Agora, o momento de inércia total após a massinha grudar no disco é a soma dos momentos de inércia do disco e da massinha:

Passo 6

Segundo a Lei da Conservação do Momento Angular, se não há torque externo atuando no sistema, o momento angular inicial é igual ao momento angular final:

Passo 7

Vamos isolar na equação:
Substituindo os valores:

Resposta

A velocidade angular do disco imediatamente após a massinha cair é aproximadamente 3,36 rad/s.

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