Um disco de vinil horizontal de massa
e raio
gira livremente em torno de um eixo vertical que passa pelo centro com uma velocidade angular de
. O momento de inércia do disco em relação ao eixo de rotação é
. Um pedaço de massa de modelar de massa
cai verticalmente e gruda na borda do disco. Qual é a velocidade angular do disco imediatamente após a massa cair?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco de vinil que está girando com uma certa velocidade angular, e um pedaço de massinha cai e gruda na borda do disco. Precisamos descobrir qual será a nova velocidade angular do disco depois que o pedaço de massinha grudar. Para resolver isso, vamos usar o conceito de momento de inércia e conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
- Massa do disco (
) = 0,10 kg - Raio do disco (
) = 0,10 m - Velocidade angular inicial do disco (
) = 4,7 rad/s - Momento de inércia do disco (
) = - Massa da massinha (
) = 0,020 kg
Passo 3
Quando a massinha cai e gruda no disco, ela adiciona seu próprio momento de inércia ao sistema. O momento de inércia de um ponto de massa é calculado pela fórmula:
Onde:
-
é a massa -
é a distância do eixo de rotação
Passo 4
Vamos calcular o momento de inércia da massinha:
Passo 5
Agora, o momento de inércia total após a massinha grudar no disco é a soma dos momentos de inércia do disco e da massinha:
Passo 6
Segundo a Lei da Conservação do Momento Angular, se não há torque externo atuando no sistema, o momento angular inicial é igual ao momento angular final:
Passo 7
Vamos isolar
na equação:
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade angular do disco imediatamente após a massinha cair é aproximadamente 3,36 rad/s.
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