Se A é definida como
A=[ll B & O O & C ]
Prove que
A^-=[cc B^- & O O & C^- ]
onde A^-, B^-, C^-são inversas generalizadas de A, B, C, respectivamente.

Passo 1

Vamos resolver o problema que pede para provar que a inversa generalizada de uma matriz em bloco diagonal é composta pelas inversas generalizadas das matrizes individuais. O conteúdo envolvido aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes em bloco e inversas generalizadas. Para resolver, vamos precisar entender como funcionam as operações com matrizes em bloco e as propriedades das inversas generalizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz em bloco. Uma matriz em bloco é uma matriz dividida em submatrizes menores, chamadas de blocos. No nosso caso, a matriz é formada pelos blocos , e dois blocos de zeros .

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a inversa generalizada. A inversa generalizada de uma matriz , denotada por , é uma matriz que satisfaz certas condições que generalizam a ideia de inversa, mesmo quando não é invertível no sentido clássico.

Passo 4

Para provar que a inversa generalizada de é uma matriz em bloco diagonal com as inversas generalizadas de e , vamos assumir que e existem, ou seja, e possuem inversas generalizadas.

Passo 5

Vamos considerar o produto de A cdot A^- = [cc B & O O & C ] cdot [cc B^- & O O & C^- ] = [cc BB^- & O O & CC^- ] pela suposta inversa generalizada :

Passo 6

Sabemos que e são matrizes que satisfazem as condições para serem inversas generalizadas de e , respectivamente. Assim, a matriz resultante é a identidade nas posições correspondentes aos blocos.

Passo 7

Portanto, A cdot A^- = [cc I & O O & I ] resulta na matriz identidade bloco:
Isso confirma que é, de fato, a inversa generalizada de .

Resposta

Assim, demonstramos que a inversa generalizada de A^- = [cc B^- & O O & C^- ] é

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Mostre que se B é uma inversa generalizada de A, então B^prime é uma inversa generalizada de A^prime.
Se X1 e X2 são vetores aleatórios n1 e n2 dimensionais, a variável aleatória X1 ^prime A X2 onde A é uma matriz tilden1 times tilden2 é chamada forma bilinear. Verifica-se que
E(Xsim^prime ^prime A Xsim)=tr(A C^prime)+musim^prime ^prime A mu2
em que mui=E(undersetsimXi), i=1,2, e Cov(undersetsimX1, undersetsimX2)=C. Utilize esse resultado para calcular E(undersetsimX^prime undersetsimY), onde undersetsimX sim N(mu1, I), undersetsimY sim undersetsimsim N(mu2, I) e a matriz de correlação entre undersetsimX undersetsimX e é R.
Determine, usando a definição, uma inversa generalizada de A^-=[ll3 & 0].
Considere o modelo de medidas repetidas
l Xi 1=mu+epsiloni 1 Xi 2=mu+de
onde Xi 1 e Xi 2 são medidas do i-ésimo indivíduo respectivamente antes e depois da aplicação de um tratamento. Admitindo undersetsimiepsilon=(epsiloni 1, epsiloni 2)^prime, i=1, ldots, n são vetores aleatórios independentes, Var(epsiloni 1)=sigma1^2, Var(epsiloni 2)=sigma2^2 e Cov(epsiloni 1, epsiloni 2)=rho sigma1 sigma2
(a) Escreva esse modelo na forma matricial. Em que tipo de testes de hipóteses poderíamos estar interessados nesse modelo?
(b) Construa a matriz de variância de covariância de undersetsimepsilon e escreva em notação de produto de Kronecker.