Considere o modelo de medidas repetidas & xi 1=mu+epsiloni 1 & Xi 2=M+de
onde xi 1 e xi 2 são medidas no i-ésimo indivíduo respectivamente antes e depois da aplicação de um tratamento. Admitindo que epsilon-i=(epsiloni 1, epsiloni 2)^i, i=1,2 ldots n são vetores aleatórios independentes, Var(epsiloni 1)=sigma1^2, Var(epsiloni 2)=sigma2^2 e Cov(epsiloni 1, epsiloni 2)=rho sigma1 sigma2, construa a matriz de variância e covariância de (undersetsimepsilon1^prime, epsilon2^prime ldots undersetsimprime dotepsilonn^prime) e escreva na notação de produto de Kronecker.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um modelo de medidas repetidas onde medimos duas vezes cada indivíduo: antes e depois de um tratamento. As medidas são representadas por e . A ideia é construir a matriz de variância e covariância dessas medidas para todo o grupo de indivíduos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de variância, covariância e produto de Kronecker.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é variância e covariância. A variância ( ) mede o quanto os valores de uma variável variam em relação à média. A covariância ( ) mede como duas variáveis variam juntas. No nosso caso, temos e como erros das medidas antes e depois do tratamento, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz de variância e covariância para um único indivíduo Var(epsiloni1) & Cov(epsiloni1, epsiloni2) Cov(epsiloni1, epsiloni2) & Var(epsiloni2) = sigma1^2 & rho sigma1 sigma2 rho sigma1 sigma2 & sigma2^2 . Como temos duas medidas, a matriz será 2x2:

[


]

Passo 4

Como temos indivíduos e as medidas são independentes entre si, a matriz de variância e covariância para todos os indivíduos será uma matriz de bloco diagonal, onde cada bloco é a matriz 2x2 que acabamos de construir.

Passo 5

Para expressar essa grande matriz de forma compacta, usamos o produto de Kronecker. O produto de Kronecker é uma operação que combina duas matrizes para formar uma matriz maior. No nosso caso, queremos combinar a matriz de covariância de um único indivíduo com a matriz identidade de dimensão , já que cada indivíduo é independente.

Passo 6

Então, a matriz de variância e covariância para todo o conjunto de dados fica assim:
Sigma = In otimes sigma1^2 & rho sigma1 sigma2 rho sigma1 sigma2 & sigma2^2
Aqui, é a matriz identidade de ordem , e representa o produto de Kronecker.

Resposta

A matriz de variância e covariância é dada por
Sigma = In otimes sigma1^2 & rho sigma1 sigma2 rho sigma1 sigma2 & sigma2^2

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