Considere o modelo de medidas repetidas
onde
e
são medidas no i-ésimo indivíduo respectivamente antes e depois da aplicação de um tratamento. Admitindo que
são vetores aleatórios independentes,
e
, construa a matriz de variância e covariância de
e escreva na notação de produto de Kronecker.
onde
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um modelo de medidas repetidas onde medimos duas vezes cada indivíduo: antes e depois de um tratamento. As medidas são representadas por
e
. A ideia é construir a matriz de variância e covariância dessas medidas para todo o grupo de indivíduos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de variância, covariância e produto de Kronecker.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é variância e covariância. A variância (
) mede o quanto os valores de uma variável variam em relação à média. A covariância (
) mede como duas variáveis variam juntas. No nosso caso, temos
e
como erros das medidas antes e depois do tratamento, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz de variância e covariância para um único indivíduo
. Como temos duas medidas, a matriz será 2x2:
[
]
Passo 4
Como temos
indivíduos e as medidas são independentes entre si, a matriz de variância e covariância para todos os indivíduos será uma matriz de bloco diagonal, onde cada bloco é a matriz 2x2 que acabamos de construir.
Passo 5
Para expressar essa grande matriz de forma compacta, usamos o produto de Kronecker. O produto de Kronecker é uma operação que combina duas matrizes para formar uma matriz maior. No nosso caso, queremos combinar a matriz de covariância de um único indivíduo com a matriz identidade de dimensão
, já que cada indivíduo é independente.
Passo 6
Então, a matriz de variância e covariância para todo o conjunto de dados fica assim:
Aqui,
é a matriz identidade de ordem
, e
representa o produto de Kronecker.
Resposta
A matriz de variância e covariância é dada por
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Determine as equações paramétricas da reta
, determinada pelos seguintes pontos:
e
Mostre que se A é inversível, então
é a única inversa generalizada de A.
Determine as equações paramétricas da reta
, determinada pelos seguintes pontos:
e
Determine as equações paramétricas da reta
, determinada pelos seguintes pontos:
e