Considere o modelo populacional
b) Determine o comportamento qualitativo das soluções da equação;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um modelo populacional dado pela equação diferencial
O que precisamos fazer aqui é entender como as soluções dessa equação se comportam ao longo do tempo. Isso é o que chamamos de análise qualitativa, onde a gente não precisa resolver a equação exatamente, mas sim entender o comportamento geral das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação. Esses são os valores de
onde a taxa de variação
é zero, ou seja,
Resolvendo essa equação, temos três soluções:
Esses pontos são onde a população não muda, pelo menos no instante considerado.
Passo 3
Agora, vamos analisar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio. Isso nos diz se a população tende a permanecer perto desse ponto ou se se afasta dele ao longo do tempo.
Para isso, vamos olhar o sinal da derivada
em torno de cada ponto de equilíbrio:
-
Para
: - Se
for um pouco maior que 0, digamos , então será positivo se , pois , e são positivos, zero ou negativos conforme varia. - Isso significa que se a população estiver um pouco acima de 0, ela vai aumentar, afastando-se de 0. Logo,
é um ponto de equilíbrio instável.
- Se
-
Para
: - Se
for um pouco menor que , será negativo, fazendo diminuir ainda mais. - Se
for um pouco maior que , será positivo, fazendo aumentar. - Isso indica que as soluções se aproximam de
de ambos os lados. Portanto, é um ponto de equilíbrio estável.
- Se
-
Para
: - Se
for um pouco menor que , é negativo, fazendo diminuir. - Se
for um pouco maior que , é negativo também, fazendo continuar diminuindo. - Assim, independentemente de estar acima ou abaixo de
, a população tende a diminuir para . Isso faz de um ponto de equilíbrio estável.
- Se
Passo 4
Com essas informações, a gente pode desenhar uma linha de fase para visualizar o comportamento:
-
Entre 0 e a:
- A população tende a crescer em direção a
.
- A população tende a crescer em direção a
-
Entre a e b:
- A população tende a decrescer em direção a
.
- A população tende a decrescer em direção a
-
Acima de b:
- A população tende a decrescer em direção a
.
- A população tende a decrescer em direção a
Resumindo:
-
: Instável (a população foge desse ponto). -
: Estável (a população tende a se manter nesse nível). -
: Estável (a população também tende a se manter nesse nível).
Resposta
As soluções da equação apresentam três pontos de equilíbrio:
(instável),
(estável) e
(estável). Dependendo do valor inicial de
, a população tende a se aproximar de
ou
ao longo do tempo, enquanto
é um ponto onde a população não se mantém e tende a crescer.