b) Determine o comportamento qualitativo das soluções da equação;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um modelo populacional dado pela equação diferencial
O que precisamos fazer aqui é entender como as soluções dessa equação se comportam ao longo do tempo. Isso é o que chamamos de análise qualitativa, onde a gente não precisa resolver a equação exatamente, mas sim entender o comportamento geral das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação. Esses são os valores de onde a taxa de variação é zero, ou seja,
Resolvendo essa equação, temos três soluções:
Esses pontos são onde a população não muda, pelo menos no instante considerado.
Passo 3
Agora, vamos analisar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio. Isso nos diz se a população tende a permanecer perto desse ponto ou se se afasta dele ao longo do tempo.
Para isso, vamos olhar o sinal da derivada em torno de cada ponto de equilíbrio:
Para :
Se for um pouco maior que 0, digamos , então será positivo se , pois , e são positivos, zero ou negativos conforme varia.
Isso significa que se a população estiver um pouco acima de 0, ela vai aumentar, afastando-se de 0. Logo, é um ponto de equilíbrio instável.
Para :
Se for um pouco menor que , será negativo, fazendo diminuir ainda mais.
Se for um pouco maior que , será positivo, fazendo aumentar.
Isso indica que as soluções se aproximam de de ambos os lados. Portanto, é um ponto de equilíbrio estável.
Para :
Se for um pouco menor que , é negativo, fazendo diminuir.
Se for um pouco maior que , é negativo também, fazendo continuar diminuindo.
Assim, independentemente de estar acima ou abaixo de , a população tende a diminuir para . Isso faz de um ponto de equilíbrio estável.
Passo 4
Com essas informações, a gente pode desenhar uma linha de fase para visualizar o comportamento:
Entre 0 e a:
A população tende a crescer em direção a .
Entre a e b:
A população tende a decrescer em direção a .
Acima de b:
A população tende a decrescer em direção a .
Resumindo:
: Instável (a população foge desse ponto).
: Estável (a população tende a se manter nesse nível).
: Estável (a população também tende a se manter nesse nível).
Resposta
As soluções da equação apresentam três pontos de equilíbrio: (instável), (estável) e (estável). Dependendo do valor inicial de , a população tende a se aproximar de ou ao longo do tempo, enquanto é um ponto onde a população não se mantém e tende a crescer.