Considere o modelo populacional
dN/dt = r N (b - N) (N - a), r > 0 e 0 < a < b
b) Determine o comportamento qualitativo das soluções da equação;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem um modelo populacional dado pela equação diferencial
O que precisamos fazer aqui é entender como as soluções dessa equação se comportam ao longo do tempo. Isso é o que chamamos de análise qualitativa, onde a gente não precisa resolver a equação exatamente, mas sim entender o comportamento geral das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação. Esses são os valores de onde a taxa de variação é zero, ou seja,
Resolvendo essa equação, temos três soluções:
Esses pontos são onde a população não muda, pelo menos no instante considerado.

Passo 3

Agora, vamos analisar a estabilidade de cada ponto de equilíbrio. Isso nos diz se a população tende a permanecer perto desse ponto ou se se afasta dele ao longo do tempo.
Para isso, vamos olhar o sinal da derivada em torno de cada ponto de equilíbrio:
  • Para :
    • Se for um pouco maior que 0, digamos , então será positivo se , pois , e são positivos, zero ou negativos conforme varia.
    • Isso significa que se a população estiver um pouco acima de 0, ela vai aumentar, afastando-se de 0. Logo, é um ponto de equilíbrio instável.
  • Para :
    • Se for um pouco menor que , será negativo, fazendo diminuir ainda mais.
    • Se for um pouco maior que , será positivo, fazendo aumentar.
    • Isso indica que as soluções se aproximam de de ambos os lados. Portanto, é um ponto de equilíbrio estável.
  • Para :
    • Se for um pouco menor que , é negativo, fazendo diminuir.
    • Se for um pouco maior que , é negativo também, fazendo continuar diminuindo.
    • Assim, independentemente de estar acima ou abaixo de , a população tende a diminuir para . Isso faz de um ponto de equilíbrio estável.

Passo 4

Com essas informações, a gente pode desenhar uma linha de fase para visualizar o comportamento:
  1. Entre 0 e a:
    • A população tende a crescer em direção a .
  2. Entre a e b:
    • A população tende a decrescer em direção a .
  3. Acima de b:
    • A população tende a decrescer em direção a .
Resumindo:
  • : Instável (a população foge desse ponto).
  • : Estável (a população tende a se manter nesse nível).
  • : Estável (a população também tende a se manter nesse nível).

Resposta

As soluções da equação apresentam três pontos de equilíbrio: (instável), (estável) e (estável). Dependendo do valor inicial de , a população tende a se aproximar de ou ao longo do tempo, enquanto é um ponto onde a população não se mantém e tende a crescer.

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