Qual é o vetor gradiente de f(x, y, z) = (x - xy + z^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: qual é o vetor gradiente da função . Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular derivadas parciais. O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior crescimento da função, e para encontrá-lo, vamos calcular as derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Isso significa que tratamos e como constantes e derivamos em relação a :
A derivada de é 1, de é (já que é constante), e não depende de , então sua derivada é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos e como constantes:
A derivada de em relação a é 0, de é , e novamente não depende de .

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, e são constantes:
A derivada de e em relação a é 0, e a derivada de é .

Resposta

Então, juntando tudo, o vetor gradiente da função é:

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