Determinar a derivada direcional e o gradiente da função f(x, y) = 9 - x^2 - y^2, no ponto( 2,2 ) e direção (raiz(2)/2, raiz(2)/2).

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional e o gradiente da função no ponto e na direção .
Matéria envolvida: Cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
O que vamos precisar:
  • Calcular as derivadas parciais de em relação a e .
  • Encontrar o vetor gradiente no ponto dado.
  • Usar a fórmula da derivada direcional que envolve o gradiente e o vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é obtida derivando considerando como constante:
Da mesma forma, a derivada parcial de em relação a :

Passo 3

Agora, vamos construir o vetor gradiente . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de .
No ponto , substituímos e por 2:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada direcional na direção do vetor .
A fórmula da derivada direcional é dada por:
Onde é um vetor unitário na direção desejada. No caso, já é um vetor unitário.

Passo 5

Vamos então calcular o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção :
Simplificando cada termo:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção é .
O gradiente da função no ponto é .

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