Determinar a derivada direcional e o gradiente da função
, no ponto( 2,2 ) e direção
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada direcional e o gradiente da função
no ponto
e na direção
.
Matéria envolvida: Cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
O que vamos precisar:
- Calcular as derivadas parciais de
em relação a e . - Encontrar o vetor gradiente
no ponto dado. - Usar a fórmula da derivada direcional que envolve o gradiente e o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é obtida derivando
considerando
como constante:
Da mesma forma, a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos construir o vetor gradiente
. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de
.
No ponto
, substituímos
e
por 2:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada direcional na direção do vetor
.
A fórmula da derivada direcional
é dada por:
Onde
é um vetor unitário na direção desejada. No caso,
já é um vetor unitário.
Passo 5
Vamos então calcular o produto escalar entre o gradiente
e o vetor direção
:
Simplificando cada termo:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção
é
.
O gradiente da função no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Determinar a curva de nível e o vetor gradiente da função
, no ponto (
).
Qual a derivada de
, na direção de
no ponto
.
Considere o modelo populacional
b) Determine o comportamento qualitativo das soluções da equação;
Qual é o vetor gradiente de
.