Determinar a curva de nível e o vetor gradiente da função f(x, y) = e^(x + 2y), no ponto ( 2, -1 ).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos determinar duas coisas no ponto :
  1. Curva de nível: É o conjunto de pontos onde a função tem o mesmo valor.
  2. Vetor gradiente: É um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e sua magnitude indica a taxa de variação nessa direção.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente o entendimento de curvas de nível e o cálculo do gradiente.

Passo 2

Vamos começar determinando a curva de nível. Uma curva de nível para a função é definida pela equação , onde é uma constante.
No ponto , primeiro calculamos o valor de :
Então, a curva de nível é onde :
Para simplificar, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Portanto, a equação da curva de nível é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor gradiente da função . O vetor gradiente é definido como:
Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :
Então, o vetor gradiente é:

Passo 4

Finalmente, vamos avaliar o vetor gradiente no ponto :

Resposta

A curva de nível é e o vetor gradiente no ponto é .

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