Determinar a curva de nível e o vetor gradiente da função
, no ponto (
).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos determinar duas coisas no ponto
:
- Curva de nível: É o conjunto de pontos
onde a função tem o mesmo valor. - Vetor gradiente: É um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e sua magnitude indica a taxa de variação nessa direção.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente o entendimento de curvas de nível e o cálculo do gradiente.
Passo 2
Vamos começar determinando a curva de nível. Uma curva de nível para a função
é definida pela equação
, onde
é uma constante.
No ponto
, primeiro calculamos o valor de
:
Então, a curva de nível é onde
:
Para simplificar, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Portanto, a equação da curva de nível é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor gradiente da função
. O vetor gradiente
é definido como:
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Então, o vetor gradiente é:
Passo 4
Finalmente, vamos avaliar o vetor gradiente no ponto
:
Resposta
A curva de nível é
e o vetor gradiente no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Qual a derivada de
, na direção de
no ponto
.
Determinar a derivada direcional e o gradiente da função
, no ponto( 2,2 ) e direção
.
Considere o modelo populacional
b) Determine o comportamento qualitativo das soluções da equação;